Sobolev Inequalities【ANALYSIS TOOLS WITH APPLICATIONS】 .pdf

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1、ANALYSISTOOLSWITHAPPLICATIONS49327.SobolevInequalities27.1.Morrey’sInequality.Notation27.1.LetSd−1bethesphereofradiusonecenteredatzeroinsideRd.ForasetΓ⊂Sd−1,x∈Rd,andr∈(0,∞),letΓx,r≡{x+sω:ω∈Γsuchthat0≤s≤r}.SoΓx,r=x+Γ0,rwhereΓ0,risaconebasedonΓ,seeFigure49below.ΓΓFigure49.TheconeΓ0,r.N

2、otation27.2.IfΓ⊂Sd−1isameasurablesetlet

3、Γ

4、=σ(Γ)bethesurface“area”ofΓ.Notation27.3.IfΩ⊂Rdisameasurablesetandf:Rd→CisameasurablefunctionletZZ1fΩ:=−f(x)dx:=f(x)dx.m(Ω)ΩΩByTheorem8.35,ZZZrZ(27.1)f(y)dy=f(x+y)dy=dttd−1f(x+tω)dσ(ω)Γx,rΓ0,r0Γandlettingf=1inthisequationimplies(27.2)m(Γ)=

5、Γ

6、r

7、d/d.x,rLemma27.4.LetΓ⊂Sd−1beameasurablesetsuchthat

8、Γ

9、>0.Foru∈C1(Γ),x,rZZ1

10、∇u(y)

11、(27.3)−

12、u(y)−u(x)

13、dy≤dy.

14、Γ

15、

16、x−y

17、d−1Γx,rΓx,r494BRUCEK.DRIVER†Proof.Writey=x+sωwithω∈Sd−1,thenbythefundamentaltheoremofcalculus,Zsu(x+sω)−u(x)=∇u(x+tω)·ωdt0andtherefore,ZZsZ

18、u(x+sω)−u(x)

19、dσ(ω)≤

20、∇u(x+tω)

21、dσ(

22、ω)dt0ΓΓZsZd−1

23、∇u(x+tω)

24、=tdtdσ(ω)d−10Γ

25、x+tω−x

26、ZZ

27、∇u(y)

28、

29、∇u(y)

30、=dy≤dy,

31、y−x

32、d−1

33、x−y

34、d−1Γx,sΓx,rwhereinthesecondequalitywehaveusedEq.(27.1).Multiplyingthisinequalitybysd−1andintegratingons∈[0,r]givesZZZrd

35、∇u(y)

36、m(Γ)

37、∇u(y)

38、x,r

39、u(y)−u(x)

40、dy≤dy=dyd

41、x−y

42、d−1

43、Γ

44、

45、x−y

46、d−1Γx,rΓx,rΓx,rwhichprovesE

47、q.(27.3).Corollary27.5.Supposed

48、Γ

49、>0,r∈(0,∞)andu∈C1(Γ).Thenx,r(27.4)

50、u(x)

51、≤C(

52、Γ

53、,r,d,p)kukW1,p(Γx,r)whereÃ!−1/pµ¶1−1/p1dp−11−d/pC(

54、Γ

55、,r,d,p):=max,·r.

56、Γ

57、1/prp−dProof.Fory∈Γx,r,

58、u(x)

59、≤

60、u(y)

61、+

62、u(y)−u(x)

63、andhenceusingEq.(27.3)andHölder’sinequality,ZZ1

64、∇u(y)

65、

66、u(x)

67、≤−

68、u

69、(y)

70、dy+dy

71、Γ

72、

73、x−y

74、d−1Γx,rΓx,r111(27.5)≤kukLp(Γx,r)k1kLp(Γx,r)+k∇ukLp(Γx,r)kd−1kLq(Γx,r)m(Γx,r)

75、Γ

76、

77、x−·

78、pwhereq=asbefore.Nowp−1ZrZ1qd−1¡d−1¢−qk

79、·

80、d−1kLq(Γ0,r)=dtttdσ(ω)0ΓZr¡¢pZrd−1d−11−p−1−=

81、Γ

82、dtt=

83、Γ

84、dttp−100andsinced−1p−d1−=p−1p−1ANALYSISTOOLSWITHAPPLICATIONS495wefindµ¶1/qµ¶p−11p−1p−dp−

85、1pd1−(27.6)kkLq(Γ)=

86、Γ

87、rp−1=

88、Γ

89、rp.

90、·

91、d−10,rp−dp−dCombiningEqs.(27.5),Eq.(27.6)alongwiththeidentity,111/q¡d¢−1/p(27.7)k1kLq(Γx,r)=m(Γx,r)=

92、Γ

93、r/d,m(Γx,r)m(Γx,r)showsµ¶1−1/p¡d¢−1/p1p−11−d/p

94、u(x)

95、≤kukLp(Γ)

96、Γ

97、r/d+k∇ukLp(Γx,r)

98、Γ

99、rx,r

100、Γ

101、p−d"µ¶#1d−1/pp−11−1/p1−d/p=kukLp(Γ)+k∇ukLp(Γx,r)r.

102、Γ

103、1/

104、px,rrp−dõ¶1