双曲线极其简单几何性质教师教学案

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1、知识归纳：形如的方程所表示的曲线形状由m、n确定。若____________________，方程表示圆；若____________________，方程表示椭圆；若____________________，方程表示双曲线。以双曲线标准方程为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。1、顶点：在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线

2、段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。4/42、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。所谓渐近，既是无限接近但永不相交。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.双曲线及其标准方程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

3、F1F2

4、)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点

5、F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞

6、F1F2

7、．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)(二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1．简单实验如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，

8、MF1

9、-

10、MF2

11、是常数，这样就画出曲线的一支；由

12、MF2

13、-

14、MF1

15、是同一常数，可以画出另一支．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。注意：常数要小于

16、F1F2

17、，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问4/41、

18、MF1

19、与

20、MF2

21、哪个

22、大？不定：当M在双曲线右支上时，

23、MF1

24、＞

25、MF2

26、；当点M在双曲线左支上时，

27、MF1

28、＜

29、MF2

30、．2、点M与定点F1、F2距离的差是否就是

31、MF1

32、-

33、MF2

34、？不一定，也可以是

35、MF2

36、-

37、MF1

38、．正确表示为

39、

40、MF2

41、-

42、MF1

43、

44、．3、这个常数是否会大于等于

45、F1F2

46、？应小于

47、F1F2

48、且大于零．当常数=

49、F1F2

50、时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞

51、F1F2

52、时，无轨迹．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。3．定义平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于

53、F1F2

54、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

55、彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。(三)双曲线的标准方程(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M

56、

57、MF1

58、-

59、MF2

60、

61、=2a}={M

62、MF1

63、-

64、MF2

65、=±2a}．(3)代数方程4/4这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定

66、大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(五)小结1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

67、F1F2

68、)的点的轨迹．3．图形(见图2-25)：4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2．4/4