历全国高考数学真题汇编专题直线和圆理(-)

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【2006高考试题】一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数满足条件那么的最大值为A．B．C．D．解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B。2．（安徽卷）直线与圆没有公共点，则的取值范围是A．　B．　C．D．解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。4．（广东卷）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是A.B.C.D.解析：由交点为，（1）当时可行域是四边形OABC，此时，（2）当-35-/35 时可行域是△OA此时，，故选D.5．（湖北卷）已知平面区域D由以为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域D上有无穷多个点可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。A．－2B．－1C．1D．46．（湖南卷）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是()聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A.[]B.[]C.[D.7．（湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是A．36　　　B.18　　　　C.D.解析：圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6，选C.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。8．（江苏卷）圆的切线方程中有一个是（A）x－y＝0　　　（B）x＋y＝0　　　（C）x＝0　　　（D）y＝0解析：直线ax+by=0，则，由排除法，选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。-35-/35 9．（全国卷I）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A．B．C．D．解析：圆的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。11．（山东卷）已知x和y是正整数，且满足约束条件则x－2x3y的最小值是(A)24(B)14(C)13(D)11.5解：画出可域：如图所示易得B点坐标为（6，4）且当直线z＝2x＋3y过点B时z取最大值，此时z＝24，点C的坐标为（3.5，1.5），过点C时取得最小值，但x，y都是整数，最接近的整数解为（4，2），故所求的最小值为14，选B12．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.±B.±2B.±2D.±4解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴，∴a的值±2，选B．-35-/35 彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为、元。月初一次性购进本月用原料A、B各、千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克、千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（A）（B）（C）（D）14．（天津卷）设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．解析：设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数的最小值为3，选B.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。15．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(A)(B)4(C)(D)2【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。解析：由题知可行域为，-35-/35 ，故选择B。16．(重庆卷)过坐标原点且与x2+y2+4x+2y+=0相切的直线的方程为（A）y=-3x或y=x(B)y=-3x或y=-x（C）y=-3x或y=-x(B)y=3x或y=x茕桢广鳓鯡选块网羈泪。17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为（A）（B）（C）（D）解：r＝＝3，故选C二、填空题（共18题）18．（北京卷）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解：画出可行域，如图所示：易得A（2，2），OA＝B（1，3），OB＝，，C（1，1），OC＝故|OP|的最大值为，最小值为.19．（福建卷）已知实数、满足则的最大值是＿＿＿＿。解析：已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴的最大值是4.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。-35-/35 20．（湖北卷）已知直线与圆相切，则的值为。解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以的值为－18或8。21．（湖北卷）若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k的取值范围是.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解：由直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，解得kÎ(0，)渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。24．（江西卷）已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。（A）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（B）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（C）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）-35-/35 解：选（B）（D）圆心坐标为（－cosq，sinq），d＝25．（全国卷I）设，式中变量满足下列条件，则z的最大值为_____________。26．（全国II）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部,圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。27．(上海卷)已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是．解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：；28．(上海卷)已知两条直线若，则____.解：两条直线若，，则2.29．(上海卷)已知实数满足，则的最大值是_________.解析：实数满足，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则的最大值是0.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。-35-/35 30．（四川卷）设满足约束条件：，则的最小值为;31．（天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________．解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．32．（天津卷）若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为．33．(重庆卷)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解析：变量满足约束条件在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，，目标函数（其中）中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+∞)。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。-35-/35 34．(重庆卷)已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为。解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数取得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有3a>a＋1且3a>1，解得a>35．（上海春）已知圆和直线.若圆与直线没有公共点，则的取值范围是.解：由题意知，圆心(-5,0)到直线l:3x+y+5=0的距离d必须小于圆的半径r．因为，所以．从而应填．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。【2005高考试题】一、选择题1．（江西卷）在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，（D）A．B．C．D．2．（江西卷）“a=b”是“直线”的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3.(重庆卷)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(A)(A)(x-2)2+y2=5；(B)x2+(y-2)2=5；(C)(x+2)2+(y+2)2=5；(D)x2+(y+2)2=5。4(浙江)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(D)(A)(B)(C)(D)5．(浙江)设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A)驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。-35-/35 5.（天津卷）将直线2x－y＋λ＝0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x－4y=0相切，则实数λ的值为猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。A．－3或7B．－2或8C．0或10D．1或116.(全国卷Ⅰ)在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（C）（A）（B）（C）（D）27.(全国卷Ⅰ)设直线过点，且与圆相切，则的斜率是（D）（A）（B）（C）（D）8.(全国卷I)已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（B）（A）（B）（C）（D）9.(全国卷III)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（B）锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。（A）0（B）-8（C）2（D）10構氽頑黉碩饨荠龈话骛。10（北京卷）从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(B)輒峄陽檉簖疖網儂號泶。（A）π（B）2π（C）4π（D）6π11（辽宁卷）若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（A）A．8或－2B．6或－4C．4或－6D．2或－812.（湖南卷）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（C）尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。A．20B．19C．18D．16-35-/35 13.（湖南卷）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是　（　C　）　　　识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。A．[－2，－1]B．[－2，1]C．[－1，2]D．[1，2]14.（北京卷）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的(B)凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件解答题1.（江苏卷）如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。2.(广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．-35-/35 O(A)BCDXY（II）(1)当时，折痕的长为2;(1)当时,折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为令解得∴所以折痕的长度的最大值2【2004高考试题】-35-/35 1.（北京）若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有2个硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。【2003高考试题】一、选择题1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（）阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。A.95B.91C.88D.753.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A.x－y=0B.x+y=0C.|x|－y=0D.|x|－|y|=04.（2002京皖春理，8）圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠＋kπ，k∈Z）的位置关系是（）釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。A.相交B.相切C.相离D.不确定的-35-/35 5.（2002全国文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（）怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。A.1，－1B.2，－2C.1D.－16.（2002全国理）圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=x的距离是（）A.B.C.1D.7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（）谚辞調担鈧谄动禪泻類。A.B.C.D.18.（2002北京文，6）若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。A.B.C.D.9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x2＋y2＝，②＝1，③x2＋＝1，④＋y2＝1．其中与直线x+y－=0仅有一个交点的曲线是（）熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④10.（2001全国文，2）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4C.（x－1）2＋（y－1）2＝4D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝411.（2001上海春，14）若直线x=1的倾斜角为α，则α（）A.等于0B.等于C.等于D.不存在12.（2001天津理，6）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（）纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。A.x+y－5=0B.2x－y－1=0C.2y－x－4=0D.2x+y－7=0-35-/35 13.（2001京皖春，6）设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（）颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。A.圆B.两条平行直线C.抛物线D.双曲线14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x=y对称的是（）A.x2－x＋y2＝1B.x2y＋xy2＝1C.x－y=1D.x2－y2＝115.（2000京皖春，6）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）A.相交不垂直B.垂直C.平行D.重合16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。A.y=xB.y=－xC.y=xD.y=－x17.（2000全国文，8）已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（）銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。A.（0，1）B.（）C.（，1）∪（1，）D.（1，）18.（1999全国文，6）曲线x2+y2+2x－2y=0关于（）A.直线x=轴对称B.直线y=－x轴对称C.点（－2，）中心对称D.点（－，0）中心对称19.（1999上海，13）直线y=x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆（x－2）2+y2=3的位置关系是（）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点20.（1999全国，9）直线x+y－2=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（）-35-/35 A.B.C．D.21.（1998全国，4）两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（）挤貼綬电麥结鈺贖哓类。A.A1A2＋B1B2＝0B.A1A2－B1B2＝0C.D.=122.（1998上海）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（）赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直23.（1998全国文，3）已知直线x=a（a>0）和圆（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（）塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。A.5B.4C.3D.224.（1997全国，2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a等于（）裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。A.－3B.－6C.－D.25.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（）仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。A.［0，2］B.［0，1］C.［0，］D.［0，）26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（）A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。C.不经过原点的直线都可以用方程表示D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示27.（1995全国文，8）圆x2＋y2－2x＝0和x2＋y2＋4y＝0的位置关系是（）图7—1A.相离B.外切C.相交D.内切骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。28.（1995全国，5）图7—1中的直线l1、l2、l3的斜率分别为-35-/35 k1、k2、k3，则（）瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k229.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y=2x的距离是（）A.B.C.D.二、填空题30.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=x+3的夹角为_____.31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+（y－a）2=1相切，则a=_____.32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．峴扬斕滾澗辐滠兴渙藺。36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b）C1∩C2的一个充分条件为．詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。37.（2001上海，11）已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋（y－3）2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷。38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为.39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。40.（1997上海）设圆x2+y2－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是.41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是.三、解答题42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A-35-/35 点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.鳃躋峽祷紉诵帮废掃減。43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.44.（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜。45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为，求该圆的方程.陽簍埡鲑罷規呜旧岿錟。46.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点.沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上.（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺。（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮。●答案解析-35-/35 2.答案：B解析一：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.謾饱兗争詣繚鮐癞别瀘。图7—2解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有=91（个）呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚。评述：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径.莹谐龌蕲賞组靄绉嚴减。-35-/35 5.答案：D解析：将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式：（x－1）2＋y2＝1∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a）x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶。∴∴a＝－16.答案：A图7—3解析：先解得圆心的坐标（1，0），再依据点到直线距离的公式求得A答案．7.答案：D解析：如图7—3所示，∠AOB＝60°，又|OA|＝|OB|＝1∴|AB|＝18.答案：B方法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围-35-/35 ∵交点在第一象限，∴∴∴k∈（，＋∞）∴倾斜角范围为（）10.答案：C解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A、C满足条件,再把A点坐标（1，－1）代入圆方程.A不满足条件.納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬。∴选C.解析二:设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r,因为圆心C在直线x+y－2=0上,∴b=2－a.由|CA|=|CB|，得（a－1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b－1）2，解得a=1，b=1因此所求圆的方程为（x－1）2+（y－1）2=4评述：本题考查圆的方程的概念，解法一在解选择题中有广泛的应用，应引起重视.11.答案：C解析：直线x=1垂直于x轴，其倾斜角为90°.12.答案：A解析：由已知得点A（－1，0）、P（2，3）、B（5，0），可得直线PB的方程是x+y－5=0.评述：本题考查直线方程的概念及直线的几何特征.-35-/35 14.答案：B解析：∵点（x，y）关于x=y对称的点为(y，x),可知x2y＋xy2＝1的曲线关于x=y对称．15.答案：B解析：直线（）x+y=3的斜率k1＝，直线x+（）y=2的斜率k2＝，∴k1·k2＝＝－1．16.答案：C解析一：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式（x+2）2＋y2＝1，圆心C（－2，0）．设过原点的直线方程为y=kx，即kx－y=0.風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。由＝1，解得k=±，∵切点在第三象限，∴k＞0，所求直线方程为y=x．图7—5解析二：设T为切点，因为圆心C（－2，0），因此CT=1，OC=2，△OCT为Rt△.如图7—5，∴∠COT=30°，∴直线OT的方程为y=x.灭嗳骇諗鋅猎輛觏馊藹。评述：本题考查直线与圆的位置关系，解法二利用数与形的完美结合，可迅速、准确得到结果.-35-/35 17.答案：C解析：直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为（－，）∪（，+）即:（，）∪（，）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（，1）∪（1,）.铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝。评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.20.答案：C解析：如图7—7所示，图7—7由消y得：x2－3x+2=0∴x1=2，x2=1∴A（2，0），B（1，）∴|AB|==2又|OB|＝|OA|=2∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120°-35-/35 .则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸。21.答案：A解法一：当两直线的斜率都存在时，－·（）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，，同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.解法二：取特例验证排除.如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.趕輾雏纨颗锊讨跃满賺。24.答案：B解析一：若两直线平行，则，解得a＝－6，故选B.解析二：利用代入法检验，也可判断B正确.评述：本题重点考查两条直线平行的条件，考查计算能力.图7—825.答案：A解析：圆的标准方程为：（x－1）2+（y－2）2=5.圆过坐标原点.直线l将圆平分，也就是直线l过圆心C（1，2），从图7—8看到：当直线过圆心与x轴平行时，或者直线同时过圆心与坐标原点时都不通过第四象限，并且当直线l在这两条直线之间变化时都不通过第四象限.夹覡闾辁駁档驀迁锬減。-35-/35 当直线l过圆心与x轴平行时，k=0，当直线l过圆心与原点时，k=2.∴当k∈［0，2］时，满足题意.评述：本题考查圆的方程，直线的斜率以及逻辑推理能力，数形结合的思想方法.26.答案：B解析：A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能用方程=1表示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.视絀镘鸸鲚鐘脑钧欖粝。评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.29.答案：B解析：直线方程可化为2x－y=0，d=.评述：本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点，考查运算能力.30.答案：60°解析：因为直线y=x+3的倾斜角为60°，而y=1与x轴平行，所以y=1与y=x+3的夹角为60°.评述：考查直线方程的基本知识及几何知识，考查数形结合的数学思想.31.答案：a=4±解析：因过A（－1，0）、B（0，2）的直线方程为：2x－y+2=0.圆的圆心坐标为C（1，a），半径r=1.又圆和直线相切，因此，有：d==1，解得a=4±.-35-/35 偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠。评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识.32.答案：2解析：圆心到直线的距离d＝＝3∴动点Q到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝234.答案：图7—10解法一：圆的圆心为（0，1）设切线的方程为y＝k（x＋2）.如图7—10.∴kx＋2k－y＝0∴圆心到直线的距离为＝1∴解得k＝或k＝0，∴两切线交角的正切值为．解法二：设两切线的交角为α-35-/35 图7—11∵tan，∴tanα＝．35.答案：解析：圆的圆心为（－1，0），如图7—11.当斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2∴kx－y＋2＝0∴圆心到切线的距离为＝1∴k＝，即tanα＝当斜率不存在时，直线x＝0是圆的切线又∵两切线的夹角为∠α的余角∴两切线夹角的正切值为38.答案：（x－1）2+（y－1）2=1解析一：设所求圆心为（a，b），半径为r.由已知，得a=b，r=|b|=|a|.-35-/35 ∴所求方程为（x－a）2+（y－a）2=a2又知点（1，0）在所求圆上，∴有（1－a）2+a2=a2，∴a=b=r=1.故所求圆的方程为：（x－1）2+（y－1）2=1.解析二：因为直线y=x与x轴夹角为45°.又圆与x轴切于（1，0），因此圆心横坐标为1，纵坐标为1，r=1.评述：本题考查圆的方程等基础知识，要注意利用几何图形的性质，迅速得到结果.39.答案：3或7解析：当两圆外切时，r=3，两圆内切时r=7，所以r的值是3或7．评述：本题考查集合的知识和两圆的位置关系，要特别注意集合代表元素的意义.41.答案：（x+2）2+（y－3）2=4解析：因为圆心为（－2，3），且圆与y轴相切，所以圆的半径为2.故所求圆的方程为（x+2）2+（y－3）2=4.緦徑铫膾龋轿级镗挢廟。42.解：设动点P的坐标为P（x，y）由=a（a>0），得=a，化简，得：（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.-35-/35 当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，得：（x－c）2+y2=（）2当a=1时，化简得x=0.所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，||为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.评述：本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即①②由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，解得y=－.-35-/35 但y=－不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由得y=2，该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.解法二：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2.-35-/35 圆心（）到直线l：x=－1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）.当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角.騅憑钶銘侥张礫阵轸蔼。因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为.评述：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.疠骐錾农剎貯狱颢幗騮。44.解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，即．整理得x2+y2－6x+1=0．①因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，-35-/35 所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，直线PM的方程为y=±（x＋1）．②将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；（2＋，－1－）或（2－，1－）．直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．46.解：设所求圆的圆心为P（a，b），半径为r，则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，圆P截x轴所得弦长为r，故r2＝2b2，又圆P截y轴所得弦长为2，所以有r2＝a2＋1，从而有2b2－a2＝1又点P（a，b）到直线x－2y=0距离为d＝，所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2（a2＋b2）＝2b2－a2＝1-35-/35 当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值，由此有解方程得或由于r2＝2b2，知r＝，于是所求圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2或（x＋1）2＋（y＋1）2＝2评述：本题考查了圆的方程，函数与方程，求最小值问题，进一步考查了待定系数法、函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗，灵活运用几何知识和代数知识将条件恰当转化，推演，即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨.镞锊过润启婭澗骆讕瀘。47.（1）证明：设A、B的横坐标分别为x1，x2，由题设知x1＞1，x2＞1，点A（x1，log8x1），B（x2，log8x2）.榿贰轲誊壟该槛鲻垲赛。图7—1348.解：（1）当1－2t＞0即0＜t＜时，如图7—13，点Q在第一象限时，此时S（t）为四边形OPQK的面积，直线QR的方程为y－2=邁茑赚陉宾呗擷鹪讼凑。t（x+2t）.令x=0，得y=2t2＋2，点K的坐标为（P，2t2＋2）.-35-/35 图7—14当－2t+1≤0，即t≥时，如图7—14，点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPＬ的面积，直线PQ的方程为y－t=－（x－1），令x=0得y=t+，点L的坐标为（0，t+），S△OPL＝嵝硖贪塒廩袞悯倉華糲。所以S（t）＝49.解：如图7—15，设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|}，（λ>0为常数）该栎谖碼戆沖巋鳧薩锭。图7—15因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1.设点M的坐标为（x，y），则整理得（λ2－1）（x2+y2）－4λ2x+（1+4λ2）=0-35-/35 当λ=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直，交x轴于点（，0）；当λ≠1时，方程化为（x－）2+y2=它表示圆心在（，0），半径为的圆.-35-/35