椭圆和双曲线练习题集与答案解析

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1、圆锥曲线测试题一、选择题(共12题,每题5分)1已知椭圆的两个焦点为、,且,弦AB过点,则△的周长为()(A)10(B)20(C)2(D)2椭圆上的点P到它的左准线的距离是10,那么点P到它的右焦点的距离是()(A)15(B)12(C)10(D)83椭圆的焦点、,P为椭圆上的一点,已知,则△的面积为()(A)9(B)12(C)10(D)84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是()(A)(B)(C)或(D)或5双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P点到左准线的距离为()(A)6(B)8(C)10(D)126过双曲线的右焦点F

2、2有一条弦PQ,

3、PQ

4、=7,F1是左焦点,那么△F1PQ的周长为()(A)28(B)(C)(D)7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2,,则双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)8在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为()(A)(B)2(C)(D)29如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()(A)(B)(C)(D)10如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2,那么点到轴的距离是(  )(A)  (B) (C)   (D)11中心在原点,焦点在y轴的椭圆方程是,,则()A.

5、B.C.D.12已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点,若,则的离心率为()w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA、B、C、D、二、填空题(20)13与椭圆具有相同的离心率且过点(2,-)的椭圆的标准方程是。14离心率,一条准线为的椭圆的标准方程是。15以知F是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为16已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是.三、解答题(70)17)已知椭圆C的焦点F1(-,0)和F2(,0),长轴长6,设直线交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标。18)已知双曲线与椭圆共

6、焦点,它们的离心率之和为,求双曲线方程.19)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。20.(1)椭圆C:(a>b>0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时,那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明。解:(1)(2)设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上Þ(3)设M(x1,y

7、1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xo≠x1则为定值。21(1)当k为何值时,直线l与双曲线有一个交点,两个交点,没有交点。(2)过点P(1,2)的直线交双曲线于A、B两点,若P为弦AB的中点,求直线AB的方程;(3)是否存在直线,使Q(1,1)为被双曲线所截弦的中点。若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)(ⅰ)当2-k2=0,即

8、k=±时,方程(*)有一个根,l与C有一个交点.(ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程(*)有一个实根,l与C有一个交点.②当Δ>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程(*)有两不等实根,l与C有两个交点.③当Δ<0,即k>时,方程(*)无解,l与C无交点.综上知:当k=±,或k=,或k不存在时,l与C只有一个交点;当<k<,或-<k<,或k<-时,l与C有两个交点;当k>时,l与C没有交点.(2)假设以P为中点的弦为AB,且

9、A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=4∴2(x1-x2)=y1-y1即kAB==1但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点,所以以P为中点的弦为:y=x+1.(3)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1-x2)=y1-

10、y1即kAB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线A

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