人教a理科数学课时考试及解析不等式的证明与柯西排序不等式

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1、课时作业(七十一)[第71讲不等式的证明与柯西、排序不等式][时间：35分钟分值：80分]1．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则a________b.2．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则P________Q.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3．若a，b，c≥0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是________．4．若不等式

2、a－1

3、≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是________．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。5．若a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca________.6．已知a，b，x

4、，y∈R，a2＋b2＝4，ax＋by＝6，则x2＋y2的最小值为________．7．设x1，x2，x3，x4，x5是1,2,3,4,5的任一排列，则x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的最小值是________．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。8．设a>b>c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是________．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。9．已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝2，a2＋2b2＋3c2＝4，则a的取值范围是________．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。10．不等式＋＋…＋>1，当n＝k＋1时，左边的项数是________．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。11．设x，y∈R＋，且xy－(x＋y

5、)＝1，则x＋y的最小值为________．12．(13分)△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)＋＋≥36R2.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。13．(12分)已知数列{xn}中，x1＝1，xn＋1＝1＋(n∈N*，p是正常数)．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(1)当p＝2时，用数学归纳法证明xn<(n∈N*)；(2)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn.课时作业(七十一)【基础热身】1．≥[解析]因为(m2＋1)(n2＋4)－(mn＋2)2＝(2m－n)2≥0，所以a≥b.32．>[解析]P－Q＝＋－a－b＝＋鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。＝，因为

6、a、b∈R＋，且a≠b，所以P－Q>0.3．3[解析]由排序不等式知a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，即ab＋bc＋ca的最大值为3.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。4．a≥4或a≤－2[解析]因为(x＋2y＋2z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)，所以x＋2y＋2z≤＝3，因为不等式

7、a－1

8、≥x＋2y＋2z，对满足x2＋y2＋z2＝1的一切实数x、y、z恒成立，所以

9、a－1

10、≥3，解得a≥4或a≤－2.【能力提升】5．≤0[解析]∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，展开，得ab＋bc＋ca＝－.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。∴ab＋bc＋ca≤0.

11、6．9[解析]由柯西不等式得(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，所以x2＋y2≥＝＝9.7．35[解析]反序和是最小值，即最小值为1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.8．4[解析]∵＋＝＋＝2＋＋≥4，∴＋≥，而＋≥恒成立，得n≤4.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。9.≤a≤2[解析]由已知得b＋c＝2－a,2b2＋3c2＝4－a2，联想到柯西不等式得(2b2＋3c2)≥(b＋c)2，铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。∴(4－a2)×≥(2－a)2，∴11a2－24a＋4≤0，因此≤a≤2.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。10．2k＋3[解析]当n＝k＋1时，不等式变为＋＋…＋>1，贓熱俣

12、阃歲匱阊邺镓騷。即＋＋…＋>1，所以左边有2k＋3项．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。11．2＋2[解析]因为xy≤2，所以－(x＋y)≥1，令t＝x＋y，则有t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2或t≤2－2，因为x，y∈R＋，所以t≥2＋2.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。12．[解答]证明：由三角形中的正弦定理得sinA＝，所以＝，買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。同理＝，＝，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。于是不等式左边＝(a2＋b2＋c2)驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。≥2＝36R2.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。所以原不等式成立．【难点突破】313．[解答]由x1＝1，xn＋1＝1＋，p>0知，xn>0(n∈N*)．锹籁饗迳琐筆

13、襖鸥娅薔。(1)证明：当p＝2时，xn＋1＝1＋，①当n＝1时，x1＝1<，命题成立．②假设当n＝k时，xk<，则当n＝k＋1时，xk＋1＝1＋＝2－<2－＝，構氽頑黉碩饨荠龈话骛。即n＝k＋1时，命题成立．根据①②知，xn<(n∈N*)．(2)用数学归纳法证明，xn＋1>xn(n∈N*)．①当n＝1时，x2＝1＋>1＝x1，命题成立．②假设当n＝k时，xk＋1>xk，因为xk>0，p>0，所以<，则当n＝k＋1时，xk＋1＝1＋＝2－<2－＝xk＋2，即n＝k＋1时，命题成立．