材料力学 复习

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1、第四章扭转4.1内容提要1．扭转外力偶作用在垂直于杆轴的平面，变形特征为各横截面绕轴线作相对转动。凡是以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。相应的外力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。外力偶矩可以根据右手螺旋法则用矢量表示。若已知轴传递的功率P（kW）和转速n（r/min），则轴所受的外力偶矩M=9549/Pn（Nm⋅）。2．扭矩与扭矩图扭矩：扭转变形的内力为横截面相互作用的内力偶，用T表示。扭矩可以按右手螺旋法则用矢量表示。规定矢量方向与横截面外法线方向一致为正，反之为负。（试比较轴力与扭矩及其计算在数学上的相同之处）

2、扭矩图：表示扭矩沿轴线变化情况的图线。作用时，以平行于轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直于轴线的另一坐标表示扭矩。3．圆轴扭转应力与扭转变形公式（1）圆轴扭转变形的基本公式dTϕ=dxGIp其中ϕ、T、G和I分别为扭转角、扭矩、切变模量和截面的极惯性矩。p（2）圆轴扭转时的应变和应力在横截面上距圆心为ρ处的切应变γ和切应力τ分别为pρdϕdTϕργρ=，τρ==GpρdxdxIp其中τ垂直于半径，沿半径线性变化。ρ（3）圆轴最大扭转切应力出现在圆截面边缘Tτ=maxWp其中WIR=，称为抗扭截面系数，R为圆截面

3、半径。pp（4）圆轴相距为l的两横截面间相对扭转角TTlϕ=∫dx（一般情形），或ϕ=（常扭矩，等截面圆轴）lGIGIpp其中GI称为圆截面的扭转刚度。p（5）圆截面极惯性矩和抗扭截面系数π4π3实心圆截面：I=D，WD=pp32161π44π34d空心圆截面：ID=−()1α，WD=−()1α，其中α=，D为外pp3216D径，d为内径。32薄壁圆管截面：I=2πRδ，I=2πRδ，其中R为圆管平均半径，δ为壁厚。p0p004．圆轴扭转的强度与刚度条件（1）强度条件⎛⎞TTmaxτmax=≤⎜⎟[]τ（一般情

4、形）≤[]τ（等截面圆轴）⎜⎟WW⎝⎠pmaxp其中[τ]为材料的许用切应力，τu[]τ=。n为安全因数，τ为材料的扭转极限应力。对于塑性材料τ=τ，τ为材料的扭转uuss屈服应力；对于脆性材料τ=τ，τ为材料的扭转强度极限。ubb（2）刚度条件⎛⎞TTmax⎜⎟≤[]θ（一般情形）≤[]θ（等截面圆轴）⎜⎟GIGI⎝⎠pmaxpo其中[θ]代表单位长度许用扭转角，工程常用单位为，经常用到下列单位换算m11radπ03o关系：=×mm180m5．非圆截面轴的扭转（1）矩形截面杆的自由扭转TTTlTlτ==，τ=

5、γτ，ϕ==max21max3WhαbGIβGhbtt其中，最大切应力τ发生在截面长边中点，τ是短边上最大切应力，发生在短max1边中点，h和b分别为截面长、短边边长，系数α，β和γ与hb相关，可查有关手册。（2）一般非圆截面干扭转TTlτ=，ϕ=maxWGItt其中，W及I可查相关手册。tt6．薄壁杆的扭转切应力与扭转角薄壁杆截面形状可用其截面壁厚与截面中心线来描述。（1）闭口薄壁杆2横截面上任一点处切应力为Tτ=2Ωδ其中Ω和δ分别为截面中心线所围面积和壁厚。在整个截面上有q=τδ＝常数，称为剪流。长为l的

6、闭口薄壁杆的扭转角为Tlϕ=GItds其中，I=Ω4，s为截面中心线长度。tî∫δ（2）薄壁圆管的逆转切应力与扭转角TTlτ=，ϕ=232πRδ2πGRδ00其中R为截面中心半径0*（3）开口薄壁杆TδTlmaxτ=，ϕ=maxIGIttn1其中Iti=∑hδi，hi和δi分别为薄壁杆横截面各段长度和厚度。开口薄壁杆抗i=13扭性能很差。3