非结构化网格中热传导的数值计算

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1、http://www.paper.edu.cn非结构化网格中热传导的数值计算112张艳丽张敏JohnC.Chai1南京理工大学动力工程学院，南京(210094)2南洋理工大学机械与航天学院,新加坡(639798)摘要：用基元有限容积方法求解热传导问题，结构化网格和非结构化网格同时采用，并和精确解相比较。虽然从两种网格形式，都能得到满意的结果，但结构化网格较三角形非结构化网格在规则区域更精确一些。为了提高非结构化网格的精度，二次扩散项是十分重要的。关键词：结构化网格，非结构化网格，热传导0.引言在过去三四十年中，对复杂扩散问题数值求解的

2、研究有了长足的进步和发展。其中有限容积法和有限元法被研究者广泛地采用。起初，这两种方法主要应用在正交结构化网格，如[1]笛卡尔直角坐标，柱坐标和极坐标系中。后来，它们被扩展应用到复杂几何形状的适体网[2][3,4]格之中。现在，这些数值计算方法在非结构化网格中得到很好的应用。非结构化网格是近年来被广泛应用于数值计算的一种网格结构。它不但对几何边界具有很强的适应性，而且对局部网格的分解和组合，以及程序的扩展都具有较好的灵活性和简练性。本文的目的就是在结构化和非结构化网格中，用有限容积法，对标量扩散方程的数值解进行比较分析，以展现这些方法

3、的优越之处。1.热控制方程和边界条件稳态的扩散方程或导热方程，对一个标量物理变量φ，可写成，∂⎛∂φ⎞⎜Γ⎟+S=0(1.1)∂x⎜φ∂x⎟φi⎝i⎠其中Sφ是单位体积中的净源项，Γ是对应于变量φ的扩散系数。在扩散问题中，一般情况φ下，会遇到三种边界条件。它们是：①第一类边界条件(DirichletProblem)，给定变量φ；②第二类边界条件(NeumannProblem)，给定法向通量；③第三类边界条件(RobinProblem)，上两种边界条件的组合。它们的数学表达式分别为，φB=φgivenqB=qgivenqB=qc+qφφ

4、B(1.2)，，E•bbED•iieˆs,iDnˆip,i•eˆt,iPa•aPDs,ii(a)(b)图1(a)扩散项和(b)单位矢量-1-http://www.paper.edu.cn2.非结构化网格中的离散方程对方程(1.1)在非结构化网格中的离散可以写成，D+S=0(2.1)在一个控制容积P中，积分上式有，nb∑Di+Sp∆Vp=0(2.2)i=1其中，nb为连接控制容积P的面数，Di是某面上总扩散项，并可以表示为，→→Di=Γi∇φi•Ai(2.3)方程(2.3)中Γi是交界面上的扩散系数。由此，Di总扩散项可分成基本扩散项D

5、和二次扩p,i散项D之和(见图1a），s,iD=D+D(2.4)ip,is,i它们的物理意义分别是某一交界面上的法向扩散项和切向扩散项。当计算网格为正交时，二次扩散项为零。基本扩散项和二次扩散项还可以写成，→→(φE−φP)Ai•AiDp,i=Γi→(2.5a)dsiAi•eˆs,i→→(φb−φa)Ai•AiDs,i=Γi→eˆs,i•eˆt,i(2.5b)AiAi•eˆs,i这里下标P代表计算单元的中心点，下标E为相邻单元的中心点。图(2b)中给出了单位矢量eˆs,i和eˆt,i。dsi是P点和E点之间的距离。式(2.5a)中除Γ

6、i之外，所有的项都能够计算出来。→面积矢量Ai，单位矢量eˆs,i和距离dsi为几何量。相邻单元值φE可以从上次迭代或初始猜测中获得。(φE−φP)dsi是eˆs,i方向上的分量。在图1b平面i中，式(2.5a)的另一种表达[5]方式有，(φE−φP)→=(∇φ)ave,i•eˆs,i(2.6)dsi→其中，(∇φ)ave,i表示两个邻近单元的平均值。即P和E单元。利用式(2.6)和式(2.5a)可得出，→→→Ai•AiDp,i=Γi(∇φ)ave,i•eˆs,i→(2.7)Ai•eˆs,i二次扩散项或切向扩散项由式(2.5b)给出。

7、在计算它们时，我们需要知道垂线两端的变量值。由于计算这些量的困难性,在求解二次扩散项时，我们可以选择另外一种方法。从方程(2.4)中，用总扩散项和基本扩散项的差，可得出二次扩散项，-2-http://www.paper.edu.cnDs,i=Di−Dp,i(2.8)代入总扩散项式(2.3)和基本扩散项式(2.7)，方程(2.8)变成，⎡→→⎤Γi⎢→→→Ai•Ai⎥Ds,i=⎢(∇φ)ave,i•Ai−(∇φ)ave,i•eˆs,i→⎥dsi(2.9)dsi⎢⎣Ai•eˆs,i⎥⎦→关于Γidsi和(∇φ)ave,i的计算请看参考文献

8、[5]。因此对于控制元P，离散方程可写成，nbnb∑Bi(φi−φP)+∑Ds,i+SP∆VP=0(2.10)i=1i=1最后简化式(2.10)得，nbaPφP=∑aiφi+b(2.11)i=1其中，→→ΓiAi•Aia