数学建模1 -- 七桥问题

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1、彰化師大數學系梁崇惠編製數學建模1--七橋問題2003.01.13l柯尼斯堡位於普雷蓋爾河口附近，河上有兩座島，共有七座橋使這兩座島與河的兩岸陸地相通，現在想要找出一條路徑能走遍這七座橋，且每一座橋只能走過一次。l尤拉(Euler，1707-1783)將該問題的圖形簡化成下圖，每座橋用一條線表示，陸地則以線與線的交點表示。在1736年提出「一筆劃模型」解決原問題的要求是不可能做到的。尤拉將這類問題定義這些由結點和支線所形成的圖形稱為網路圖，分為可以一筆畫的網路，不可一筆畫的網路。一個網路圖要是能一筆畫，則圖形中的奇結點一定是0個或2個。反過來說，一個網路圖的奇結點是0個或是2個時才

2、能一筆畫。七橋問題中的奇結點有四個(A、B、C、D)，所以永遠沒辦法一筆完成。1彰化師大數學系梁崇惠編製數學建模2擲幣遊戲l有一個市集遊戲，玩家把硬幣投擲在正方形方格的棋盤上。1.假若硬幣接觸到方格的邊線，他就輸了；2.假如硬幣完全停在方格內，玩家可取回他所投擲的該枚硬幣，並贏得一個等值的硬幣。3.假若硬幣滾離了棋盤，就重丟一次。請問玩家贏得遊戲彩金的機率是多少？註：與九年一貫數學領域有關的能力指標3-3-3能運用生活經驗來瞭解機會。3-4-3能進行簡單的實驗，以瞭解機率、抽樣的初步概念。5-1-1能察覺生活中與數學相關的情境。5-2-1能把情境中與問題相關的數量形析出。5-2-2

3、能把情境中數量形之關係以數學語言表出。5-2-3能把情境中與數學相關的資料資訊化。5-2-4能把待解的問題轉化成數學的問題。5-3-3能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。5-4-3能用一般語言與數學語言說明情境與問題。5-4-9能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。5-5-3經闡釋及審視情境，能重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。5-5-5能將問題與解題一般化。2彰化師大數學系梁崇惠編製擲幣遊戲的活動單1.這是個幾何機率的問題，面對這種問題，通常會形成一個關於問題的幾何模型。獲勝的機率與、、有關，也就是說，正方格的越大，獲勝的機會越小；或

4、是硬幣的越小，獲勝的機會越大。2.由觀察一個特殊的例子來了解問題。（1）令硬幣的半徑是1.5公分，棋盤每個正方格的邊長是公分。請在某一個方格內，畫出硬幣的正中心停在哪個範圍內，才能獲勝呢？（2）樣本空間是邊長為公分的正方形，面積為平方公分；獲勝事件空間是一個邊長為公分的正方形，面積為平方公分。兩個區域的面積之比為：，故玩家獲勝的機率為。（3）看完特殊例子後，接著考察一般的情形：假設硬幣的半徑為R，每個正方格的邊長為S，則獲勝的機率P為。3.如何才能使這個遊戲變成是公平的？棋盤的每個正方格邊長是5公分，請問硬幣的半徑多大時，才可以讓玩家獲勝與輸掉的機率是一樣的。4.實際測試上一小題求

5、算的結果，比較「實驗值」與「理論值」會相同嗎？實際丟擲的次數：次。獲勝的次數：次。實驗值＝。理論值＝。實驗值與理論值相差。3彰化師大數學系梁崇惠編製作業5.若改成在西洋棋的棋盤上丟擲硬幣，棋盤內的每個正方格邊長為10公分。現在規定只有硬幣完全落在白色方格內才算獲勝，請計算對一枚半徑為1.5的硬幣來說，獲勝的機率有多大？6.現在把原來正方格改為正六邊形，正六邊形的邊長為2公分，硬幣的半徑是1公分，則玩家獲勝的機率有多大？【此題需國三學生以上的程度】7.你拿的是半徑為1公分的硬幣，現在有兩種遊戲紙，一種是邊長為4公分的正六邊形，另一種是邊長為4公分的正方形，你知道要選擇哪一個遊戲板嗎？

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