三阶非线性光束传输特性参数的差分计算

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1、44《激光杂志》l999年第20卷第5期LASERJOURNAL(Vo1．20，No5．1999)三阶非线性光束传输特性参数的差分计算巍z保{二)。(华南师范大学抽理系，传输光学实验室，广州51O631)矩鬻。0fpa瑚m缫螂m嚷薷竺耋莹三苎翟墨慧墓譬最高要方星薯嚣苎i：n三阶非线性光束的维传输为模型发展：h：；三ooller~-解一种快速算。Njd。[‘]利用墓：⋯三阶非线性哲，射率⋯．一，、，一耋‘姜⋯篙‘⋯五怎’警⋯装⋯鲁一I嚣0黼0⋯⋯I⋯～0宝+v+II=o(2)确定微分矩阵。不妨假设u为区问[0，L]上二阶可导是归苎。一J_化引F

2、篁兰‘F、，’!‘’．是的复莹)和动量一由此到微分矩阵具方法菇。o‘⋯⋯’V上，表征光束传输特性的参数可以表示为考虑p≥3，：(p—1)值多式如下⋯发散角。：日02～2f一)(4)．．()=’(．t"-~TI)(86)．～2．(—)(4)～。。⋯三一、一曲率半径H：由r在起点{0)和终点(i=N一1)处插值需要额外·(1·+·(一‘”，(51的节·固此需要对函数u进行延拓。根据实际情况R质量因子MM=1(w一)(6】盘9鼍套毒耋鑫差喜8；No．柬708譬；辇釜厦家高技惯性势函数Ⅱ1999哥5月j7日收稿《激光杂志)1999年第z0卷第5期LA

3、SERJOURNAL(VM．20，No5．1999)45的需要，本文采用对称的延拓方式，即假定的函数u需要注意的是，以上关于线性算子L的矩阵表示在形在x=0附近关于轴x=0对称，函数在x=L附近关于式上是正确的，但在实际计算中，由于r0=0，在计算中轴x=L对称。由此得出在(8)式中+<0时，出现了{暮l，：。：罟的情况。根据{箐比塔法则有4=一—，u(x1)=“()÷=辜，由此可以将计算矩阵L的过程作相应的修i>N一1时，=2L一2N卜2，u(z】)=“(2Ⅳ一卜2)改，具体来说就是将(15)式中第二项的第一行(对应于对(8)式求关于x的d

4、阶导数可得{鲁。)替换成第一项的第一行(对应于蓦。)。(加罩()等(9)利用Crank-Nicolson方法裤方程4147式，具体步将上式中的替换成丑就可以求得函数“在点=五骤如下，首先将方程(14)式近似表示为如下的差分方的导数的近似值如果定义矩阵Ⅱ=[u()；u(x1)；⋯U程：(xN1)】，函数u的d阶导数u(x)在节点处的值可以望L±墨L二_一望卜_用下式表示：。2U(d)=D’“(10)+Ⅳ(上等业)上学土旦其中微分矩阵D如下：(17、fl急，(4)+．(—)ic、由此可得到沿z方向分步算法：【D；d、={甓≤c—At=Bu+()，

5、：0，1⋯，一l(is)【急．fIJ()+．¨愁(2一2)≥—一U0=h(1J)其中A：卜L，B=J+譬L，Vii_=H(出)。考虑NLS(2)式的如下特殊形式(r：ivL)：通过方程(18)式可以由un解出un+l，我们用迭代法解塞=‰。R(12)方程(t8)式，令u1=un，按以下步骤迭代直到收敛：“(z，y，0)=h()』Au：Bu+f)，在轴对称的情况下，线性算子r可以写成q=0，l⋯玎『一1(19)r=(r))由以上方法，如给出z=0面上波函数的分布，就可以计算出一定距离范围内波函数的变化，并计算其它根据(1】)式定义的微分矩阵，方

6、程(12)式可以写成关的光束传辕参数。于z的向量函数u(z)的方程：为了验证这种方法的可行性，我们利用Mat]ab[6兰Ⅱ(￡)：Lu(2)+Ⅳ(n(￡))口(z)，z>0(14)首先计算了线性传输(N=0)光束的渡函数的变化。通H(0)=【h(0)，^(1)，⋯^(N)】过与用Fourier变换方法计算的结果比较发现：利用差其中分法解矩阵轴对称光束传输线性问题，可以得到正确的解利用这种方法计算非线性问题的结果在在第三=(o+d咏(，，⋯-1)×o}1)(15)部分中详细讨论。N(n(￡))=irl(z)I，i=0，l，⋯N一1(16)3计算

7、结果二～一一。‘L一}_I．I。～～削1束宽w阿2发散角酽图3曲率中桦嘲4葫技质量图5势数H图6dW：／dz变化图变化罔R变化目子Ⅵ．，变化图随柬宽w变化图r实线)和w／Rr虚线)变化图图l一6表，在无量纲化的情况下本文根据(3特性参数一7)五式利用Ma1]ab所计算的三阶非线性光束传输从图4可知．、守恒这与解析研究㈦结果一46《激光杂志)1999年第20卷第5期LASERJOURNAL(VoL．20，No．5．1999)致尽管质量因子M不守恒，但可以定义守恒的有效倍。这正好与计算结果一致质量因子M(J=¨I击)J：4讨论利用差分一微分矩阵方

8、法模拟计算三阶非线性光嘞()=一}wM~A0)(20)束传输特性参数，计算的结果与刘承宜等人所给出图4表明，由于三阶非线性效应的存在有效质量的特性参数之问的关系相昀