可逆矩阵在保密通信中的应用

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1、万方数据第23卷第3期2007年6月大学数学COLLEGEMATHEMATICSV01．23，№．3Jun．2007可逆矩阵在保密通信中的应用熊小兵(武汉大学计算机学院，武汉430079)[摘要]作为工科“线性代数”课中相关知识的一个具体应用的例子，从理论与实践相结合的角度论述了可逆矩阵在保密通信中的应用及其存在的问题与对策等．[关键词]线性代数；可逆矩阵；保密通信[中图分类号]0151．21[文献标识码]TN911．2[文章编号]1672—1454(2007)03一0108一051引言在工科“线性代数”课程的教学实践中，笔者发现，许多教科书在介绍相关理论知识和数学工具的

2、应用时，所举的例子往往缺乏时代感，没有与当前最前沿的科学技术相结合，以至于很多学生错误地认为所学的东西与自己的专业关系不大，好象没有多大的用处．为了引导学生正确地认识“线性代数”这门课在工科领域的重要作用，笔者在讲授“矩阵”的相关知识时，特地设立了一个专题——“可逆矩阵及其应用”．在此专题中，笔者结合当前最前沿的科学技术，举了若干个“可逆矩阵”可以大显身手的例子，不仅说明了在其中应用“可逆矩阵”的一般思路，也提出了其中存在的问题，从而激励学生进行研究性学习，取得了较好的效果．本文就是其中的一例．2基于可逆矩阵的保密通信模型保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题．无数的科

3、技工作者为此做了大量的工作，先后提出了许多较为有效的保密通信模型．其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的一种．2．1加密保密通信模型基于加密技术的保密通信模型如下：[收稿日期]2005一09—29(发送方)(接收方)图1万方数据第3期熊小兵：可逆矩阵在保密通信中的应用109发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据．2．2可逆矩阵的应用显然一种加密技术是否有效，关键在于是密文能否还原成明文．设有矩阵方程C—AB，其中B为未知矩阵．我们知道，如果A为可逆矩阵，则方程有唯一解

4、B—A叫c，其中A1是A的逆矩阵．因此，可逆矩阵可以有效地应用于加密技术．设A为可逆矩阵，B为明文矩阵，c为密文矩阵．2．2．1加密算法加密时，采用下面的矩阵乘法：C—BA或C—AB．例如，设加密密钥矩阵A为明文矩阵B为则密文矩阵c等于3—2O一1O21—2—3—2O1213254—3123—2O—lO21—2—3—2O1213254—3121415—26371415—26374—6—4—2—513615129—15—3—21—1—3811113O242．2．2解密算法解密时，采用下面的矩阵乘法：B—CA一1或B—A一1C，其中，A1为A的逆矩阵．例如，针对上面的加密密钥

5、矩阵A，解密密钥矩阵A如果密文矩阵C为则相应的明文矩阵B应等于1—2—4O1O一1—13621—6—1010—121—1175713127876321—2O3—6．896219691211为一4—16—1060697458—37—2—6—33—17O8—1万方数据llO大学数学第23卷3密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键．3．1加密密钥的生成我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的．因此，我们可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密密钥．这种做法的好处是，我们可以自由地选择初

6、等矩阵的数量和每个初等矩阵的类型，以及由单位矩阵得到初等矩阵的具体初等变换．在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到加密矩阵．根据文献[3]，通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换：1)交换两行或两列；2)数乘某一行或某一列；3)将某一行(或某一列)的K倍加到另一行(或另一列)上，实质上只有2)和3)两种是独立的，1)可以通过2)和3)来表示．因此，在设计算法时，可以利用如下矩阵结构(下文称其为变换矩阵)：行号列号倍数行号列号变换l1O～3O变换2O35O变换32～l3变换4O23O3变换卵2O2O其中行代表变换，列表示变换的具体内容，而且第i行

7、表示第i次变换．比如，变换1表示第l行乘一3；变换2表示第3列乘5；变换3表示第3行的一1倍加到第2行上；变换4表示第3列的3倍加到第2列上，等等．3．2解密密钥的生成设A=PlP：P3⋯只，其中只是初等矩阵，则A一1一P：1⋯PilPjlPil，其中P_1是P。的逆矩阵．设只是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵I做K的逆变换即可得到P_1．显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等逆变换即可．文献[4]介绍了一种无重复生成所有可逆矩阵的方法，大家可以参考