第3章 弹性力学平面问题的求解简介

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1、有第一节按位移求解平面问题限第二节按应力求解平面问题相容方程元第三节常体力下的简化，应力函数分析第四节用逆法、半逆法求解平面问题第五节用差分法求解平面问题第六节弹性力学中的能量原理，变分法合肥工业大学有限元第一节按位移求解平面问题分析合肥工业大学上章小结（1）平衡微分方程：（3）物理方程：1xyx()f0xxyxExy1y(yx)有xyyEf0y限xy2(1)xyxy元（2）几何方程：E分u（4）边界条件：析xuu,vvxssvyl

2、()m()fyxsxysxvum()l()fysxysyxyxy偏微分方程三组方程+两组边界条件边值问题合肥工业大学第三章平面问题的求解基本未知量：x,y,xy,x,y,xy,uv,消元法1.按位移求解（位移法）以位移分量为基本未知函数有将平衡微分方程和边界条件都用u、v表示，并求解限由几何方程、物理方程求出形变与应力分量。元分2.按应力求解（应力法，力法）析以应力分量为基本未知函数以平衡微分方程为基本方程，补充以应力分量表示的第三个方程，并求出应力分量，再由物

3、理方程、几何方程求出形变与位移分量。合肥工业大学第一节按位移求解平面问题三套方程1将平衡微分方程用位移表示由物理方程：将几何方程代入，有EEuv()x2xyx211xy有EEvu（a）y2(yx)y限112yxE元xyxyEvu2(1)xy分2(1)xy将式(a)代入平衡微分方程，化简有析222Eu11uvf0222x1x2y2

4、xy………..(1)222Ev11vuf012y22x22xyy合肥工业大学第一节按位移求解平面问题2将边界条件用位移表示Euv位移边界条件：usu,vsv…(2)x21xy应力边界条件：Evu（a）y2有l()m()f1yxxsxysx限m()l()fEvuysxysyxy元2(1)xy将式（a）代入，得分析Euv1

5、uvlmf2x12xyyxss…….(3)Evu1vumlf2y12yxxyss式（1）、（2）、（3）构成按位移求解平面问题的基本方程合肥工业大学第一节按位移求解平面问题3按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡微分方程：E2u112u2vf0222x1x2y2xy222有Ev11vuf012y

6、22x22xyy限（2）边界条件：元位移边界条件：uu,vvss分应力边界条件：析Euv1uvlmf2x12xyyxssEvu1vumlf2y12yxxy说明：ss（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。合肥工业大学有限第二节按应力求解平面问题元分相容方程析合肥工业大学第二节按应力求解平面问题

7、相容方程按应力求解平面问题的未知函数：(,),xy(,),xy(,)xyxyxyxxyyxy平衡微分方程：f0f0xyxyxy有2个方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，限从几何方程、物理方程建立补充方程。元1.变形协调方程（相容方程）分uv将几何方程作如下运算：析xy23yxuuxx2222uvxyxyxyxyyxyxv233u3vyvy2222yxyxxy

8、yx合肥工业大学第二节按应力求解平面问题相容方程222xyxy显然有：——形变协调方程（或相容方程）22yxxy结论:有限元形变协调方程物理意义：分1)是连续体中位移连续性的必然结果；析2)是形变对应位移存在且连续的必要条件。即,,必须满足上式才能保证位xyxy移分量u、