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1、第八讲存在唯一性定理（2）邓引斌Email:ybdeng@mail.ccnu.edu.cn华中师范大学邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20131/21目录1第七讲复习2REMARKS3ANEXAMPLE邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20132/211第七讲复习2REMARKS3ANEXAMPLE邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20133/21Theorem3.2.1（存在唯一性定理）设2?={(?,?)
2、
3、?−?0
4、≤?,
5、?−?0
6、≤?}⊂?⊂R;?(?,?)∈?0(?)且在?中关于?满足Lipschitz条
7、件。则初值问题⎧⎪⎨??=?(?,?),??(1.1)⎪⎩?(?0)=?0在区间?=[?0−ℎ,?0+ℎ]上存在唯一解?=?(?)。?其中ℎ=min{?,},?=max
8、?(?,?)
9、.?(?,?)∈?邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20133/21证明思路(Picard’siterationmethod).Step1.Initialvalueproblem(1.1)isequivalenttotheintegralequation∫︁??(?)=?0+?(?,?(?))??.(1.2)?0Step2.ConstructingaPicarditerationseq
10、uence.Denotefor?=1,2,···,?0(?)=?0,?∈[?0−ℎ,?0+ℎ]and∫︁?(1.3)??(?)=?0+?(?,??−1(?))??,?∈?,?0邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20134/21Step3.ThePicardsequence{??(?)}convergeuniformlyin?∈[?0−ℎ,?0+ℎ]as?→+∞.Step4.Letlim??(?)=?(?)uniformlyin?→∞?∈[?0−ℎ,?0+ℎ],then?(?)isasolutionof(1.2).Step5TheproofofUniqueness.邓
11、引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20135/211第七讲复习2REMARKS3ANEXAMPLE邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20136/21??(?,?)1)?(?,?)andarecontinuousintherectangle???=⇒?(?,?)satisfiesLipschitzconditionwithrespectto?inrectangle?.Sothetheorem3.1.1isacorollaryofourtheorem3.2.1.??(?,?)2)Wecannotimplythatiscontinuousina??r
12、ectangle?undertheLipschitzcondition.Acounterexamplecanbegivenbytaking?(?,?)=
13、?
14、,?={(?,?)
15、
16、?
17、≤?,
18、?
19、≤?}.邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20136/213)Picarditerationsequencegivenby(1.3)provideaformulatofindanapproximationsolutionof(1.1).4)Lipschitzconditionassuretheuniquenessof(1.1),butitdoesnotassuretheco
20、nvergenceofPicardSequencewithoutthecontinuityof?(?,?)on?.Aninterestingexampleisgivenby[1].5)Thecontinuityof?(?,?)on?canassuretheexistenceof(1.1).(SeeTheorem3.3in[1])butitdoesnotassuretheuniquenessof(1.1).邓引斌(华中师范大学)第八讲存在唯一性定理（2）WUHAN20137/216)Forthesystemoffirst–orderDifferentialequationswiththein
21、itialvalueconditions:⎧⎨???=??(?,?1,?2,···,??),?=1,2,···,?,??⎩0??(?0)=??,?=1,2,···,?.Wehavethesameexistenceuniquenesstheorem[5]7)Forasecondorderdifferentialequationorahighorderdifferentialequation,wecanrewriteitin
