06通信原理第六讲

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1、《通信原理》第六讲§2.3高斯随机过程高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程。一、定义若随机过程ξ(t)的任意n维（n=1,2,...）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下fxx(,,...,xtt；,,...,)tnnn121211−nnxa−xa−jjkk=n/21/2exp[∑∑Bjk()()](2)πσσσ...B2Bjk==11σσjk12n（2.3-1）22式中a=E[ξ(t)],σ=E[ξ(t)−a],

2、B为归一化协方差矩阵的行列式，即kkkkk1bbL121nbb1L212nB=MMMMbbL1nn12B为行列式B中元素b的代数余因子；b为归一化协方差函数，且jkjkjkE{[()ξtata−][()ξ−]jjkkb=jkσσjk二、重要性质a)高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。b)广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。c)如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。d)高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。高斯过程在任一时刻上的

3、样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为21(⎛⎞xa−)fx()=−exp⎜2⎟（2.3-3）2πσ⎝⎠2σ2式中a为高斯随机变量的数学期望，σ为方差。f(x)曲线如图2-3表示。图2-3正态分布的概率密度由式（2.3-3）和图2-3可知f(x)具有如下特性：（1）f(x)对称于x=a这条直线。∞（2）∫f()xdx=1（2.3-4）−∞且有a∞1∫∫fxdx()=fxdx()=（2.3-5）−∞a2（3）a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a=,0σ=1时，称f

4、(x)为标准正态分布的密度函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即2x1(⎡za−)⎤FxP()=≤=(ξx)exp⎢−⎥dz（2.3-6）∫−∞2πσ2σ2⎣⎦这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用误差函数和互补误差函数：所谓误差函数，它的定义式为2x2−terfx()=∫edt（2.3-7）π0它是自变量的递增函数，erf)0(=0，erf(∞)=1，且erf(−x)=−erf(x)。并称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x),即2

5、∞2−terfcx()1=−erfx()=∫edt（2.3-8）πx它是自变量的递减函数，erfc)0(=1，erfc(∞)=0，且erfc(−x)=2−erfc(x)。当x>>1时，（实际应用中只要x>2即可近似），有12−xerfcx()≈e（2.3-9）πx（经过变量代换，不难得到⎧11⎛⎞xa−⎪+≥erf⎜⎟,当时xa⎪⎝222σ⎠Fx()=⎨（2.3-16）⎪1⎛⎞xa−1,−≤erfc⎜⎟当时xa⎪⎩2⎝⎠2σ用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。

6、三、高斯白噪声信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即n0P()ω=（2.3-17）ξ2这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中n为一常数，单0位是（瓦/赫）。白噪声的自相关函数n0R()τ=δτ()（2.3-18）2这说明，白噪声只有在τ=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图2-4白噪声的谱密度和自相关函数如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

7、我们所定义的这种白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。