均匀试验设计的理论,方法和应用——历史回顾

《均匀试验设计的理论,方法和应用——历史回顾》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、均匀试验设计的理论﹑方法和应用—历史回顾方开泰（香港浸会大学香港九龙塘）摘要本文回顾计算机仿真试验设计的主要两种方法：拉丁超立体抽样和均匀设计，在过去二十五年的发展，特别是均匀设计的发展，包括均匀设计的优良性研究、新的均匀性测度、均匀设计表的构造，以及均匀性在因子设计中的应用。关键词：均匀设计，拉丁超立体抽样，因子设计，正交性，均匀性。1历史回顾廿世纪七十年代，在系统工程、高科技发展的推动下，计算机仿真(仿真)试验(computerexperiments)的需求十分强烈，迫切要求高质量的试验设计。于是计算机仿真试验设计(Designofc

2、omputerexperiments)在那时成为一个最有挑战的课题。在北美洲，三位学者(McKay,M.D.,Beckman,R.J.andConover,W.J.(1979))在“Technometrics”提出了“拉丁超立方体抽样”(LatinHypercubeSampling)(简称LHS)的方法，并立即得到广泛的应用，一批学者对其理论和方法作了系统地研究和发展，形成了一个独立的分枝。差不多在同一时间，在中国，我和王元院士提出了“均匀设计”(UniformDesign)(简称UD)。文章最初在1978年发表在中国科学院数学研究所的内

3、部通讯，后来中、英文稿分别发表在《应用数学学报》和《科学通报》。那时，中国正处于文化大革命刚结束，百废待兴的时代，学术上与世界几乎隔绝。有趣的是，LHS和UD有异曲同工之处。表现于:(A)两种方法均将试验点均匀地散布于输入参数空间，故在文献中广泛使用术语“充满空间的设计”(spacefillingdesign)LHS给出的试验点带有随机性，故称为抽样；而UD是通过均匀设计表来安排试验，不带有随机性。(B)两种方法的最初理论均来自“总均值模型”(OverallMeanModel)LHS希望试验点对输出变量的总均值提供一个无偏估值，且方差较小

4、，而UD是希望试验点能给出输出变量总均值离实际总均值的偏差最小。(C)两种设计均基于U-型设计。(D)两种设计能应用于多种多样的模型，且对模型的变化有稳健性。经过了廿多年的发展，两种不同思路的方法是分道扬镳，还是相互补充，相互融合呢？本文想作一些回顾和讨论。为此，我们需要介绍两种方法的思路、模型、方法和应用。112总均值模型设输入变量x,L,x与输出变量有一个确定性的关系1sy=f()x,L,x,x=(x,L,x)∈Cs.(2.1)1s1ss这里假定试验区域为单位立方体Cs=[0,1]，变量y在Cs上的总均值为E()y=∫f(x,L,x)

5、dx,L,dx(2.2)Cs1s1s若在Cs上取了n个试验点，x,L,x，y在这n个试验点上的均值为1nn1y()Dn=∑f(xi),(2.3)ni=1此处D={x,L,x}代表这n个点的一个设计。n1nLSH方法是用抽样的方法来选取D使相应的估计y(D)是无偏的，即nnE()y()D=E(y),n且方差Var(y(D))尽可能地小。McKay,BeckmanandConover(1979)指出LSHn比简单随机抽样要好，即前者所获得的总均值比后者有较小的方差。若设计点集D中的点x,L,x独立同分布，遵从Cs上的均匀分布，相应样本均值y(

6、)Drandom1nrandom是E(y)的无偏估计，其方差为Var(f()x)n，其中x在Cs上均匀分布。如果试验点同分布，但相互之间有相关性，得Var()D=Var()f(x)n+()n−1Cov(f(x),f(x))n,(2.4)LHS12右边第一项是随机抽样时样本均值的方差，故Var()D

7、方形)，每边均分8份，故单位正方形2被分成64=8个小正方形。(2)随机地取(1,2,…,8)的两个置换，例如(2,5,1,7,4,8,3,6)和(5,8,3,6,1,4,7,8)1225581376将它们排成一个矩阵，得。由矩阵的每一行(2,5)、(5,8)、…、(6,2)决41843762定了8个小正方形，如图1(a)，我们看到，每行、每列有一个小正方形。(3)在已选中的8个小正方形上分别选点，使小正方形中的每个点被选中的机会相等，于是得图1(b)的结果。这8个点就是一个LHS。11

8、*************************0.9******0.9******************0.8************0.8*******************0.7*