数值分析报告报告材料期末复习资料

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1、标准实用文案数值分析期末复习题型：一、填空二、判断三、解答（计算）四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。2、两点理解：（1）四舍五入的一定是有效数字（2）绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.3、定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、避免误差危害原则1、原则：（1）避免大数吃小数（方法：从

2、小到大相加；利用韦达定理：x1*x2=c/a）（2）避免相近数相减（方法：有理化）eg.或（3）减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、数值运算的误差估计1、公式：（1）一元函数：

3、ε*(f(x*))

4、»

5、f’(x*)

6、·

7、ε*(x)

8、或其变形公式求相对误差（两边同时除以f(x*)）eg.P19习题1、2、5（2）多元函数（P8）eg.P8例4，P19习题4文档标准实用文案第一章插值法一、插值条件1、定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a≤x0＜x1＜…＜xn≤b的函数值yi=f

9、(xi)，求次数不超过n的多项式P(x)，使2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式（P26（2.8））2、插值多项式表达式（P26（2.9））3、插值余项（P26（2.12））：用于误差估计4、插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、差商（均差）及牛顿插值多项式1、差商性质（P30）：（1）可表示为函数值的线性组合（2）差商的对称性：差商与节点的排列次序无关文档标准实用文案（1）均差与导数

10、的关系（P31（3.5））1、均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36）两种解法：（1）用定义做：设P3(x)=ax3+bx2+cx+d，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2）牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14五、三次样条插值定义（1）分段函数，每段都是三次多项式（2）在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）（3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题文档标准实用文案第一章函数逼近与曲线拟合一、曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ji，解法方程组，列方

11、程组求系数（注意ji应与系数一一对应）eg.P95习题17形如y=aebx解题步骤：（1）线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第二章数值积分与数值微分一、代数精度1、概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度2、计算方法：将f(x)=1,x,x2,…xn代入式子求解eg.P100例1二、插值型的求积公式文档标准实用文案求积系数定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。一、牛顿-科特斯公式1、掌

12、握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性2、定理：当n为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n次代数精度；当阶n为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度3、在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即，k=0，1，2，….n。则可构造牛顿-柯斯特求积公式:n=1时，求积公式为梯形公式：n=2时，求积公式为辛普森公式：n=4时，求积公式为柯特斯公式：4、低阶求积公式的余项：梯形公式：辛普森公式：文档标准实用文案柯特斯公式：1、复合梯形公式及余项（P106）2、复合辛普

13、森公式及余项（P107）一、高斯型求积公式（书P117-120）1、定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk为高斯点。求积公式：余项：2、第一章解线性方程组的直接方法文档标准实用文案一、高斯消去法：利用增广矩阵二、LU分解Ly=b；Ux=y1、特点：L对角线均为1，第一列等于A的第一列除以a11；U的第一行等于A的第一行2、LU分解唯一性：A的顺序主子式Di≠0三、平方根法：例题：用平方根法解对称正定方程组解：先分解系数矩阵A文档标准实用文案改进平方根法：一、追赶法：A=LU，Ly=f

14、，Ux=y二、范数（误差分析）1、向量范数定义及常用范数文档标准实用文案2、矩阵范数定义及常用范数其中表示半正定矩阵的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相容1、条件数条件数是线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即的逆‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小