概率论参考答案 刘金山 主编 第3章

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1、习题三参考答案31..128PxXxyYyFxy{,}12<≤12<≤={2,,,,22}−FxyFxyFxy{11}+{11}−{2}PX{1<≤<≤2,3YF5}={3,5}−F{2,3}+F{1,3}−F{1,5}−−−252−5−−−232−3−−−131−3−−−151−5=()1222−−+−−−+()1222+−−+()1222−−−+()1222.3=1282.(1)有放回摸取时的分布律为33×32×PX{0===,0Y}，PX{0===,1Y}55×55×23×22×PX{1===,0Y}，PX{1===,1Y}55×55×Y01X96025256412525(2)无放回摸

2、取时的分布律为2P32×3PX{0===,0Y}，PX{0===,1Y}22PP55223×P2PX{1===,0Y}，PX{1===,1Y}22PP55Y01X330101031110103.(1)有放回摸取时，(,)XY的边缘分布律为Y01pi⋅X96302525564212525532p⋅j55(2)无放回摸取时，(,)XY的边缘分布律为Y01pi⋅X33301010531211010532p⋅j55此结果说明不同的联合分布律可以确定相同的边缘分布律，因此边缘分布不能唯一确定联合分布.4.(1)(,)XY的联合分布律为Y01X1-10211036(2)离散型随机变量X和Y的联合分布函数

3、为F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}Fxy(),=∑∑pijxxyyii≤≤⎧0,x<−1或y<0;⎪1⎪,−1≤x<0,y≥0;⎪2F(x,y)=⎨⎪5,x≥0,0≤y<1;⎪6⎪⎩1,x≥0,y≥1.5.因为X与Y相互独立，所以PXxYyPXxPYy{====⋅=,}{}{}⎧⎫⎧11⎫11PX⎨⎬⎨====⋅=-2,Y-PX{}-2PY-⎬=⋅⎩⎭⎩22⎭42以此类推，得到下表Y1-13X2111-281616111-161212111024484811112612126.(,)XY的分布律Y1234X1110066112006613000614000611(1)Y的边缘分布律PY{4

4、===+++=+++=}ppppp000⋅41424344466由条件分布率pijP{X=x

5、Y=y}=，i=1,2,?ijp⋅jpijP{Y=y

6、X=x}=，j=1,2,?jipi⋅在Y=4的条件下，X的条件分布律；1PX{1=

7、4Y===}00.611PX{2=

8、4Y==}=1.661PX{3=

9、4Y===}00.61PX{4=

10、4Y===}00.6X1234P0100111(2)X的边缘分布律P{2X=}==+++=+++=ppppp0022⋅1222324663由条件分布率pijP{Y=y

11、X=x}=，j=1,2,?jipi⋅在X=2的条件下，Y的条件分布律；1PY{1=

12、2X===

13、}00.3111PY{2=

14、2X==}=.6321PY{3=

15、2X===}00.3111PY{4=

16、2X==}=.632Y123411P002217.(1)；9∫∫axy(6−−)dxdy01<<<

17、dy∫002<

18、0⎣⎦⎝⎠22=9a19=1aa，=95(2)；12xyF,()xy=∫∫−∞−∞fuvdudv(,)1xy=∫∫−−00()6uvdudv911y⎛⎞2=∫⎜⎟6x−xv−xdv092⎝⎠111⎛⎞22=−−⎜⎟6xyxyxy92

19、2⎝⎠5PX{≤≤0.5,Y1.5}=F()0.5,1.5−F()0.5,0+−F(0,0)F()0,1.5=128(3).278.(1)−(2x+y)⎧2e,当x>0,y>0时，f(x,y)=⎨⎩0,其它，yxFxy(,)=∫∫fuvdudv(,)−∞−∞⎧yx−+(2uv)−2x−y⎪∫∫2(edudv=−1e)(1−e),y>>0,x0=⎨00⎪⎩0其它1(2).3PX{}(<=Y∫∫fxydxdy,)=∫∫fxydxdy(,)Dx

20、9.由题意知命中点与靶心(坐标原点)的距离为Z=+XY，先求Z的分布函数，22当z≤0时，FZPZzPXYzz(){=<=}{+<=}0当z>0时，22FZPZzPXYzz(){=<=}{+<}=(∫∫fuvdudv,)22uvz+<1=dudv∫∫222222π(1++uv)uvz+<⎧xr=cosθ令⎨，则变换的雅可比行列式为⎩yr=sinθ∂∂xx∂∂rθcosθθ−rsinJr===,∂∂yysinθ