材料力学第十四章超静定结构

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1、第十四章第十四章超静定结构超静定结构超静定结构超静定结构第十四章超静定结构14-1超静定结构概念14-2用力法解超静定结构14-3对称及反对称性质的利用目录14-1超静定（静不定）结构概述在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为：外力超静定系统和内力超静定系统。外力超静定：支座反力不能全由平衡方程求出；内力超静定：支座反力可由平衡方程求出，但杆件的内力却不能全由平衡方程求出.目录例如CBPaPPlBCaAA目录我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。求解超静定系统的基本方法是：解除多余约束，代之以多余约束反力然后根据

2、多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的基本静定系统或相当系统。（本章主要学习用力法解超静定结构）目录§14-2用力法解超静定结构在求解超静定结构时，一般先解除多余约束，代之以多余约束力，得到基本静定系，再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。我们把这种以“力”为未知量，求解超静定的方法称为“力法”。目录例如：该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁解除多余支座B，并以多余约束X1代替X1ACBACBaFaFll若以∆1表示B端沿竖直方向的位移，则：∆=∆+∆1

3、1F1X1=0(*)X1∆1FAACCBB∆1X1F∆1F是在F单独作用下引起的位移∆1X1是在X1单独作用下引起的位移目录1ACBδ11对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故∆1X1也是δ11的X1倍，即有∆=δX1X1111所以（*）式可变为：δ11X1+∆1F=032lFa若：δ11=∆1F=−(3l−a)3EI6EI2Fa于是可求得X1=3(3l−a)2l目录例14.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆EI=常数。q解：BaCaD231⎛a2a2⎞4aXaδ=⎜⋅+a⋅a⎟=111⎜⎟E

4、I⎝23⎠3EIAqB34a1⎛qa⎞qaaCD∆=−⎜⋅a⎟=−11P⎜⎟EI⎝2⎠2EIaA3qa由δX+∆=0得X=1111P18a3qa∴X=0,Y=(↓)BBa82qa211qa()qa()2qa2X=0,Y=↑,M=逆时针AAA288目录例14.2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯刚度P为EI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。ABC1()ll2l2解：δ=l⋅1=11PEIEIX1221⎛Pl⎞Pl∆=−⎜⋅1⎟=−1P⎜⎟EI⎝8⎠8EIP2由δX+∆=01111P1PlPl4得X=18Pl23l3

5、Pl8PPl8Pl8PlAB∴wC=−×2=(↓)48EI16EI192EICl2l2目录qq例14.3：求图示刚架的支反力。BCBCaa解：23aa2⎛a2a⎞2aδ=⎜⋅⎟=11⎜⎟EI⎝23⎠3EIAA241⎛2qaa⎞qaqa28∆=−⎜a⋅⎟=−1P⎜⎟EI⎝382⎠24EIaaqa2由δX+∆=01111Pqa得X=116qa2qa9qaqa7qa()∴XB=(←),YB=(↑)XA=(→),YA=↑16161616目录上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？P2P

6、2PP11P3P3X3X1X2目录变形协调条件：∆=∆=∆=0123∆i表示X作用点沿着方向的位移Xii由叠加原理：∆=∆+∆+∆+∆=011X11X21X31P∆=δX+δX+δX+∆=011111221331P同理∆=δX+δX+δX+∆=022112222332P∆=δX+δX+δX+∆=033113223333P目录⎧δ11X1+δ12X2+⋯+δ1nXn+∆1F=0⎪力法正则方程：⎪δ21X1+δ22X2+⋯+δ2nXn+∆2F=0⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪⎩δn1X1+δn2X2+⋯+δnnXn+∆nF=0⎡δ11δ

7、12⋯δ1n⎤⎧X1⎫⎧∆1F⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪矩阵形式：⎢δ21δ22⋯δ2n⎥⎪X2⎪⎪∆2F⎪⎨⎬+⎨⎬=0⎢⋯⋯⋯⋯⎥⋯⋯⎪⎪⎪⎪⎢⎥δδ⋯δ⎪X⎪⎪∆⎪⎣n1n2nn⎦⎩n⎭⎩nF⎭δii表示沿着方向XX单独作用时所产生的位移=1iiδij表示沿着方向XX单独作用时所产生的位移=1ij∆表示沿着方向载荷XF单独作用时所产生的位移iFi目录X=1引起的弯矩为M⎧ii⎪设：⎨X=1引起的弯矩为Mjj⎪⎩载荷F引起的弯矩为MFMM则：δ=iidxii∫EIlMMijδ=dxij∫EIlMM∆=iFdxiF∫EIl目录14-

8、3对称及反对称性质的利用对称性质的利用：对称结构：若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。目录对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的大小也相等）。PP22PP11目录反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的