求函数项级数收敛区间的一种新方法

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1、万方数据第24卷第6期2008年12月大学数学COLLEGEMATHEMATICSV01．24，No．6Dec．2008求函数项级数收敛区间的一种新方法罗光耀，郭华(重庆工商大学理学院，重庆400067)[摘要]对形如∑口．』-+6(kEN．bEz)的幂级数．当其缺项的时候，不能直接用公式P—liral生丛I=in-．-”l“一I求其收敛半径与收敛区间(本文约定收敛区间不含端点)，一般都是直接采用达朗贝尔(比值)判别法求其收敛半径与收敛区间．事实上，对这种幂级数只需先作一个变量代换．就可以采用公式法求解．本文给出了这种方一竺■+6法的理论证明，并将结论进行了推广，即利用

2、变量代换与公式法同样可求形如芝：口．z了(^，sEN，bEz)形_一0式的函数项级数的收敛区间．[关键词]函数项级数；幂级数；收敛半径；收敛区间；比值判别法[中图分类号]0173．1[文献标识码]C[文章编号]1672—145412008}06-0169—04设有幂级数∑口。Xlm+b(其中kEN，bEz)，令kn+b=m，将疗=翌产代入系数口。，得口一m--b，并记6。=d下m--b9以6。=aTm-b为系数作一新幂级数量6。z”．若蜘f等II，堡1％}lI都存在(含极限为+∞情‘m30⋯’lon一～l“”形)，设P=墅I等l，n=壁I％}l，则有下述结论．引理1当o

3、≤lDl，lD<+oo时，』D2lD}，且印一+oo售lD一+。。．证因为所以口n+1一口丛纽土等业口乜尘±卫亡山口丛垒±卫}山口丛尘±n±车』￡1uI--·---··-—·------------一●—------—----------------忙-●●---—--_-—--·-·------—--------—一口一n丛生±卫{山口雎纽±u丰山口丛血±卫≠业口丛垒±址≠业P=墅l等l=磐I东‰I·舰b[ktn+D+b-1]I⋯，aim]％篙=lDl·门⋯JD·=ID}．定理l幂级数蚤口一zh¨(其中愚∈N，6∈z)与幂级数圣bmxm(其中九2口中)有相同的收敛半径

4、和收敛区间．证先考虑∑口一h+6的收敛半径与收敛区间．因为^=0墅l等I=墅l等菩掣l=墅I等l·⋯*----p⋯‘．(i)当。1御⋯>方时’幂级数至啪斛6发散·所以收敛半径R2矿1，收敛区间为(一矿1，专)．又对幂级数∑6m工”，由公式法可知IDl2。l—ira，f％旦I．由引理1知I口=』D}，即JDl=P÷，所以其收敛半m=0研_．匍I“埘’径R-。专2R，收敛区间为(一矽1，专)．(ii)当

5、lD20(此时lDl。0)水l-，显然两级数有相同的收敛区间(一oo，+∞)，收敛半径R=Rl=+∞l当P2+∞(此时JDI=+o。)时，显然两级数仅在x=0处收敛，R=R。=O．定理1得证．由定理1的证明过程易得如下推论：推论l设有幂级数∑口。zh+6(其中点∈N，beg)，令JD=liml穹旦l，则它的收敛半径R可用如n；0H—·∞f“l下公式求得f?叫_0’R-{方，P≠o，Io，』D=+∞．例l求幂级数妻墼妄之：一一-的收敛半径与收敛区间．解法l用变量代换法．令2n--l=m，则．一m+12n+1，，z+2，珂2丁，下2可26一．考虑幂级数荟bmxm的收敛半径·

6、因为印一壁Ib以in+1’№I亨’磊愕所以∑6。z”的收敛半径R，一÷一√夏由定理1可知，∑翟軎与z一一，的收敛半径R：R。：在，收敛区m一0门=厶间为(一压，厄)．解法2用推论1中的公式．因为P5姆I等I-墅l学·南『-丢，所以妻nII—2nr+lzH一1的收敛半径R一万1=在，收敛区间为(一在，以)．下面考虑形如∑口。z华(走，s∈N，6∈z；堑警为最简分式)级数的收敛区间问题．先给出一个引理．设有级数∑口。z}(s∈N)'／令n。=m，将押=sm代人系数口．，得口，，并令6．：4。以b，为系数作幂级数薹6一”．若墅I等I，!受I％}l都存在(含极限为+o。情形)，

7、并设P=磐f等f，。一蚓等}，则有下述结论：引理2当o≤水+∞时，Pl—lD，或P=一，且IDl一+o。唧一+oo．证因为·bin+1=当业=—am—+s=』堕±!．璺竺±，二!⋯璺竺±!％口一口矗口埘4-。一Ia一+。一，口一’万方数据第6期罗光耀，等：求函数项级数收敛区间的一种新方法171p=!受J警l=。l—iral口a。．*．+,。I·!受J薏芝I．．．!受I芸I二∥．对函数项级数薹口∥毕，令堑警=仇，则打=塑宇．代人系数口。得口宰．令6，=口宇，以6晰为系数作一幂级数∑6。z“，同样设P=lira．1穹旦I，门=lim1％盐l，