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1、郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第五章电磁波的辐射第五章电磁波的辐射1.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，KK写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。解：真空中的麦克斯韦方程组为KK∂B∇×=−E,①∂tKKK∂E∇×=BJμμ+ε,②000∂tK∇=iEρ/,ε③0K∇=iB0④KKKKK令EEE=+,且∇×EE=0,∇i=0，⑤LTLTKKK由③知：B=B（B=0）⑥TLKKKKK令JJJ=+，且∇×JJ=0,∇i=0.⑦LTLT
2、（ⅰ）将⑤⑥代入①，得KKKK∂B∇×()EE+=∇×E=−；LTT∂t(ⅱ)将⑤⑥⑦代入②，得KKKKKKK∂+()EELT∇×()BB+=∇×B=μμ()JJ++εLTT00LT0∂tKKKK∂∂EELT=+()μμJJε++(μμε)00LT0000∂tt∂上式两边分别取散度：K左边∇∇×i()B≡0；TKKKK∂∂E()∇iELT右边∇+ii()μμJJε+(μ∇+με)00LT0000∂∂ttKK∂EL=∇i()μμJ+ε=0.00L0∂t要使两边相等，必须70郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第五章电
3、磁波的辐射KK∂ELμμJ+=ε0，00L0∂tKKK∂ET此时，∇×BJ=μμ+ε.TT000∂t（ⅲ）将⑤代入③，得KKK∇+=ii()EE∇=Eρ/ε.LTL0K(ⅳ)④式即∇=iB0.T综合以上讨论，得到以下结论：（1）真空中电磁场的无旋（纵场）部分满足的方程式为K∇×E=0，LK∇=iEρ/ε，L0KK∂ELμμJ+=ε0，00L0∂tKB=0.L可以看出，电场的无旋部分对应于库仑场。（2）真空中电磁场的无散（纵场）部分满足的方程式为KK∂B∇×E=−，T∂tKKK∂ET∇×BJ=μμ+ε，TT000∂
4、tK∇=iE0，TK∇=iB0.TKKK2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若ρ=0,J=0，则E和B可完全由矢KK势A决定。若取ϕ=0，这时A满足哪两个方程？K证：当ρ==0,J0时，线性各向同性均匀非导电介质中的麦克斯韦方程组为KK∂B∇×=−E,①∂t71郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第五章电磁波的辐射KK∂D∇×H=,②∂tK∇=iD0,③K∇=iB0.④KKKK其中DEHB==ε,/μ.⑤KKK由④式可引入矢势A，令B=∇×A.⑥由②⑤⑥得K1KE=∇∫×()∇×Adt⑦μεKKK由⑥⑦可见：E
5、和B可完全由矢势A决定。KK∂A⑤代入①，得∇×+=()E0，因而可引入表势，令∂tKKKK∂∂AAEE+=−∇ϕϕ⇒=−∇−⑧∂∂ttKK∂A若取ϕ=0，则E=−⑨∂t⑤⑥⑨分别代入③②，得K∂∇()iAK=0，⇒∇=iA0∂tKKK∂2AKK∂2A2∇×∇×()A=−με⇒∇∇−∇=−()iAAμε22∂t∂tKK∂2A2⇒∇−Aμε=0.2∂tK综上，取ϕ=0时，A满足的两个方程是KK∂2A2∇−Aμε=02∂tK∇=iA0KK3.证明沿轴方向传播的平面电磁波可用矢势zA(ωτ)表示，其中τ=−tzc/，A
6、垂72郭硕鸿《电动力学》习题解答罗开基编第五章电磁波的辐射直于z轴方向。证：沿z轴方向传播的平面电磁波的矢势和标势可表示为KKKKikzt()−−ωitzcωω(/−−)iτAAe===AeAe,000ikzt()−−ωitzcωω(/−−)iτϕϕ===eeeϕϕ.000可验证：KK2222∂∂AA11∂∂ϕϕ−=0,−=0222222∂∂zct∂∂zct上述波动方程应满足洛伦兹条件才与电磁场方程等价，故KK1∂ϕiωK∇+iiA=⇒00ikeAˆˆ−ϕϕ=⇒=ceAi.22zzct∂cKKKKKKB=∇×=×
7、=×+=×AikeˆˆAike()AAikeˆA;zzLTzTKK∂AKKKE=−∇−ϕ=−ikeiAieAeiAϕωωˆˆ+=−()iˆ+ωzzz∂tKK=×ieAeieAeωω()ˆˆˆˆ×=××().zzzTzKKKKKK可见，E和B可用矢势A(ωτ)表示，并且它们都只与A的横场部分A有关，而A的TKKK纵场部分有某种任意性，因此可取A=0，即A=A，此时LTKKK∇=iiAikeAˆˆ=⇒0A⊥e.zzKK4.设真空中矢势A(,)xt可用复数傅里叶展开为KKKKKKKKikxii*−ikxAxt(,)=+
8、∑[()ateate()]，KkkkK*K其中a是a的复共轭。kk2KKdatk()22K（1）证明a满足谐振子方程+kcat()0=.k2kdtKKK（2）当选取规范∇==iA0,ϕ0时，证明kai=0.kKKKK*（3）把E和B用a和a表示出来。kkKK1∂ϕKK1∂2A2解：（1）取洛伦兹规范∇+iA=0，则A满足波动方程∇A−=0.222ct∂ct∂K将A的展式代
