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1、图论部分参考答案一、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是{f}{c,e}．3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和等于边数的两倍．4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且无奇度顶点．5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点
2、数
3、S
4、与W满足的关系式为W≤
5、S
6、．7．设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当n为奇数且大于等于3n时，K中存在欧拉回路．n8．结点数v与边数e满足e=v-1关系的无向连通图就是树．9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4条边后使之变成树．10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i=4．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．正确。由图G是无向图且其结点度数均为偶数可知，图G必为连通图，由定理“无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点”可得
7、此论述是正确的。2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．错误，上图中b和c两顶点的度数均为3，是奇度顶点，故由定理“无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点”可知此图不存在欧拉回路。13．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．G正确，上图中a,b,d和f四顶点的度数均为3，是奇度顶点，故由定理“无向图G有欧拉回路当且仅当G是连通图且无奇度顶点”可知此图不存在欧拉回路，自然也就不是欧拉图。在上图中若根据汉密尔顿图的定义可找到一条汉密尔顿回路，则说明此图即为汉密尔顿图；而此回路可以很容易找到，如回路”abefgdca”。故此图不是欧拉图而是汉密尔顿图
8、。4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．错误若G是平面图，则有m<=3n-6而16<=3*7-6=15是不成立的，所以G不是平面图5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．正确由题意可知，n=6,m=11,代入欧拉公式n-m+r=2，6-11+r=2得r=7即G有7个面。三、计算题1．设G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5)}，试(1)给出G的图形表示；(2)写出其邻接矩阵；(3)求出每个结点的度数；(4
9、)画出其补图的图形．(1)V1V2V5V3V4(2)20010000110A(G)110110110100110(3)deg(v1)=1deg(v2)=2deg(v3)=4deg(v4)=3deg(v5)=2(4)图G为K5的子图，图G与下图正好形成K5，则下图即为其补图V1V2V5V3V42．图G=，其中V={a,b,c,d,e}，E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(c,d),(d,e)}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）
10、写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．(1)a1c21e24563bd(2)0110110011AG()100110110111110(3)由Kruskal算法，可以得知此图的最小生成树为:3a1c1e23bd权值为：w=1+1+2+3=73．已知带权图G如右图所示．(1)求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值．(1)根据Kruskal算法可得图G的最小生成树为：(2)该生成树的权值为：w=1+2+3+7+5=184．设有一组权为2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权
11、．(1)最优二叉树65313417177105523（2）该最优二叉树的权w=31*1+17*2+7*3+5*4+2*5+3*5=1314四、证明题1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．证明：因为n是奇数，即n阶完全图每个顶点度数为偶数．那么，若G中顶点v的度数为奇数时，在补图G中v的度数一定也是奇数，所以G与G中的奇数度顶点个数相等．k2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能2使其成为欧拉图．证：由定理“任何图中度数为奇数的结点个数必是偶数”，可知k是偶数．又根据定理“图G
12、是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点”．因此只要在每对奇数度
