dirichlet型空间上的紧加权复合算子的谱new

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1、黝数学物理学报2010，30A(4)：873—883http：／／actams．wipm．ac．anDirichlet型空间上的紧加权复合算子的谱王茂发刘培德(武汉大学数学与统计学院武汉430072)摘要：该文研究了单位多圆柱情形Dirichlet型空间上的加权复合算子的谱．对一类紧加权复合算子，给出了其谱的完全刻画，推广了已有结果．关键词：Dirichlet型空间；加权复合算子；紧算子；谱．MR(2000)主题分类：47B38中图分类号：O174．5文献标识码：A文章编号：1003—3998(2010)04—873—111引言设为复平面C中的开单位圆盘，H

2、(U)为定义在上的解析函数全体，：U—为解析自映射，通过复合运算定义的线性映射：f—f。，vf∈H(U)称为H(U)上的复合算子．如今复合算子在H(U)的各种子空间上的性质得到了广泛研究，相关结论可参阅Cowen＆MacCluer与Shapiro的专著[1-2】．从中可知，复合算子的结构性质与其诱导符号的函数几何性质特别是在内的不动点(i．e．，的Denjoy—Wolf点)有紧密的关系．对复合算子谱的描述更加清楚地说明了这一点．特别地，Caughran与Schwartz在文献[3]中首先研究了经典Hardy空间日()上的紧复合算子c的谱，利用的Denjoy—

3、Wolf点给出了其谱的完全刻画．MacCluer[]随后把Caughran和Schwartz的结论推广到了C单位球上的Hardy空间和加权Bergman空间的情形．最近Shapiro，Smith[引，GajahGunatillake}6JjZhou，Yuan【】等分别把该结论进一步推广到了单位圆盘与单位球上的加权复合算子的情形．人们自然会问该结论是否对单位多圆柱等更一般的情形也成立．这是因为在上述提到的众结论的证明中，作者都本性地应用了单位圆盘与单位球上的Denjoy—Wolf定理，而我们知道Denjoy—Wolf定理对单位多圆柱(竹>1)是不成立的[s-l

4、o]．本文中，我们在一类包含以Hardy空间和加权Bergman空间为特例的单位多圆柱上的Dirichlet型空间上考虑加权复合算子的谱问题，克服单位多圆柱上Denjoy—Wolf定理的缺失，运用不同的技巧给出了一类紧加权复合算子的谱的刻画，推广了已有结果．下面的第2节包含多圆柱情形Dirichlet型空间的定义及其基本性质；主要结果及其证明在第3节；第4节给出了单位球情形上的类似结果．收稿日期：2008—10—30；修订日期：2009—10—09E—mail：mfwang．math@whu．edu．on；pdliu@whu．edu．CYI基金项目：国家自然

5、科学基金资助874数学物理学报V_01．30A2Dirichlet型空间的基本性质众所周知，单位圆盘上的Dirichlet空间D(u)有如下等价描述：D(u)={，()=Eakz∈H(U)：Elakl。(+1)<∞)(见文献【11—12】)．下面我们给出单位多圆柱U“=U×⋯×U上Dirichlet型空间()的定义．设Ot=(OZl，⋯，OL)∈，Z：(Zl，⋯，)∈U，f(z)=Ea(k，⋯)⋯z“是f∈H(U)的Taylor级数展开，其中H(U)表示U(k--，kn)上的全体解析函数之集．我们称f∈。()，如果／、1／2Dn)=(∑l。(，l(kl+1)

6、⋯(+1))

7、由正项级数的D’alembert极限准则知对任意1Zil<1，级数∑驰t(‰+1)～t

8、。()，则=(l，-一，札)(，)l=If()I∑l