昆明理工大学概率统计概统2—1至2——4

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1、第二章一维随机变量及其分布随机变量及其分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数及其分布第一节随机变量及其分布函数随机变量分布函数一随机变量数量化随机试验结果随机变量eXfe()实值函数随机变量定义设随机试验E下样本空间为Ω={e}，若对任意eΩ，对应唯一个实数X(e)，则称X(e)为一个随机变量（简记为(r,v)(1)随试验结果而变,事先只知其取值范围,而不知取何值.特征(2)取值和每个确定范围内的取值有一定概率性.例1（1）设试验E:掷一颗骰子，X:骰子朝上之面的点数，则X为随机变量，“出现大点数”可表示为{X4};（2）设试验E:观察某网站某时间段内收到的信

2、息，X:信息条数，则X为随机变量.“收到的信息条数在1000-2000之间”可以表示为{1000X2000};（3）设试验E:观察炮弹落点，X:射程(公里),则X为随机变量.“射程在10-15公里之间”可表示为{10X15}.（4）设试验E:用2元钱任买一张彩票,X:奖金，则X为随机变量.“不赔钱”可以表示为{X2}.例2在将一枚硬币抛掷三次,观察正面H反面T出现情况的试验中,其样本空间{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.记每次试验出现正面H的总次数为X,X为随机变量,则X作为样本空间Ω上的函数定义为eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHT

3、TTX32221110易见,使X取值为2({X=2})的样本点构成的子集为A{HHT,HTH,THH},3故P{X2}P(A),类似有84P{X1}P{HTT,THT,TTH,TTT}.8常见的两类随机变量离散型连续型取值可数取值无穷多,不可一一列举,充满某一区间eHHH收到的信息条数HHTHTHTHH电视机的寿命HTTTHTTTHTTTX骰子出现的点数3222一地区男子的身高1110二分布函数定义称F(x)P{Xx},x(,)为X的分布函数(简记为df)，其中事件{Xx}{eX(e)x}从数值上看F(x)表示随机变量X落入区间(,x]的概率.

4、p1p2pkxx1x2xkx例3袋中有6个球，标号为-1,1,1,2,2,2，任取一球，设随机变量X表示取到的球的标号,求X的分布函数.例3解由分布函数F(x)的定义及古典概率可计算得0,x11,1x1,袋中有6个球，6F(x)P{Xx}3标号为-1,1,1,2,2,2,1x2,61,x2.x1时，x1x1时，x1x12x1x2时，x11x2x2时，xx112例4向[a,b]随机投点X:落点刻度，求X的分布函数解由分布函数F(x)的定义及几何概率可计算得0,xa,xaF(x)P{Xx}ba,axb,1,

5、xb.xa时xaxb时xxabxb时xabx分布函数的性质(1)0F(x)1;(2)F(x)为单增右连续的函数，即若x1x2,则F(x1)F(x2),limF(x)F(x0);xx00(3)limF(x)0,limF(x)1,分别记为F()0,F()1;xx(4)P{Xa}F(a),P{Xa}F(a0),P{aXb}F(b)F(a),P{aXb}F(b)F(a0),P{Xa}1F(a).例5若P{Xx2}0.6,P{Xx1}0.6,且x1x2,求P{x1Xx2}.解P{x1Xx2}P{X

6、x2}P{Xx1}P{Xx2}(1P{Xx1})0.610.60.2.注随机变量不是高等数学中的普通变量，而分布函数则是高等数学中的普通函数，因而可借用微积分的方法来研究概率论.第二节离散型随机变量离散型随机变量及其性质常见的离散型随机变量的分布一离散型随机变量及其性质1离散型随机变量的定义定义如果随机变量X的取值是有限多个或可数多个，则称X为离散型随机变量，下表称为X的概率分布或分布律.即pkP{Xxk},k1,2,,(2.1)2分布律的性质(1)pk0,k1,2,；(非负性）；（2）pk1.(归一性）。k1(3)F(x)pk,从而F(

7、x)为阶梯函数,xk为跳跃间断xkx点，在xk处右连续而非左连续，其余点处处连续.(4)P{Xxk}F(xk)F(xk1).k例1设随机变量X分布律为,P{Xk}a,k0,1,2,,k!0为常数，试确定a.解由分布律的归一性pk1.得k1ka1,即ae1,所以ae.k!k0例2用随机变量描述将一枚硬币连抛三次的试验结果，并写出这个随机变量的分布律和分布函数.