工程数学—复习dayin

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1、工程数学厦门大学物理与机电工程学院张宇锋yufengzhang@xmu.edu.cn1课程涵盖内容1.绪论2.函数插值3.函数逼近4.数值微积分5.常微分方程数值解2第第章一章绪论了解误差来源掌握误差度量的概念掌握误差限和有效数字的计算方法了解计算中需要避免的问题3第第章一章绪论误差来源1.模型误差2.观测误差3.截断误差4.舍入误差4第第章一章绪论误差的度量绝对误差：e*,e*=x*‐x**绝对误差限：ε*，e*≤ε*xx相对误差：e*,e*=e*/x=e*/**/x*rr相对误差限:ε*, ε*=ε*/

2、x*rr有效数字：如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说x*准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称x*的有效数字.5第第章一章绪论避免误差危害1.避免除数远远小于被除数2.避免两相近数相减3.防止“大数”吃掉小数4.减少运算次数6第二章函数插值了解插值多项式的基本概念掌握插值多项式及余项计算方法1.拉格朗日法：基函数，余项2.牛顿法：差商表，余项3.Hermite插值：重节点均差了解龙格现象和分段插值方法7第二章函数插值拉格朗日法：L(x)l(x)yl(x)yl(x)

3、yn0011nn则l(x),l(x),,l(x)为n次插值基函数01nnxxjli(x)j0,ijxixjnnw(x)nLn(x)yili(x)yii0(xxi)wn'(xi)i0(n1)f()R(x)f(x)(x)w(x)nn1(n1)!8第二章函数插值牛顿法：N(x)f(x)f[x,x](xx)n0010f[x,,x](xx)(xx)0n0n1N阶均差（差商）：f[x,x,,x]f[x,x,,x)f[x,x,,x]i0i1in1i1i2in

4、]i0i1inxxi0inkkf(x)jf[x0,x1,,xk],w'k1(xj)(xjxi)jj0,w'k1(xj)i0i均差余项：R(x)f[x,x,,x](xx)(xx)9n0n0n第二章函数插值Hermite插值：在[a,b]上n1个插值节点,axxb;0n设yf(x),mf(x),i0,1,,niiii2n1次的插值多项式H，满足如下关系2n1yiH2n1(xi)mH(x)i2n1i(2n2)f()2R(x)f(x)H(x)w

5、(x)2n12n1n1(2n2)!10第二章函数插值Lagrange法：nH(x)y(x)m(x)2n1iiiii0n12i(x)[12(xxi)]li(x)j0xixjji2xxxlxi()(i)i()则可满足yiH2n1(xi)mH(x)i2n1i11第二章函数插值Newton：2H(x)f(x)f[x,x](xx)f[x,x,x](xx)2n10000001022f[x,x,x,x,,x,x](xx)(xx)(xx

6、)0011nn0n1n重节点均差1(n)f[x,x,x]f(x),xx,i1,2,,n01n0i0n!222R(x)f[x,x,x,x,,x,x,x](xx)(xx)(xx)2n10011nn01n12第二章函数插值龙格(Runge)现象分段插值；变节点法13第三章函数逼近了解函数逼近的基本概念理解函数空间度量方法：范数掌握正交多项式概念及计算方法1.Legendre：基函数，余项2.Chebyshev：差商表，余项掌握简单曲线拟合方法14第三章函数逼近定义_范数：设V为实数域R上的线性

7、空间，若V到R的一个映射，即gV，有个实数有一个实数g与之对应，且满足如下条件：1.gV,g0;当且仅当g0时有g0（非负性）2.rR,gV,rgrg(齐次性）3.f,gV,fgfg(三角不等式）则函数是线性空间V上的范数，且线性空间V为赋范线性空间(V,)15第三章函数逼近-范数：若在区间[a,b]上的连续函数集合C[a,b]是实数域上的线性空间,则实值函数fmaxf(x),fC[a,b]axb1.非负性：fmaxf(x)0,ff0axb2.齐次性：r

8、fmaxrf(x)rmaxf(x)rfaxbaxb3.三角不等关系：fgmaxf(x)g(x)axbmaxf(x)maxg(x)fgaxbaxb16最佳一致逼近为赋范线性空间(C[a,b],)的子空间设其维数为n1;n{}为该空间的线性无关基函数ii0则可