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1、Vol.12,No.2高等数学研究Mar.,2009STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS43*简说Green公式在现代分析学中的地位张海亮(浙江海洋学院数学系浙江舟山316000)摘要通过对数学分析、数学物理方程、实变函数、复变函数、微分流形等分析分支中基本定理或基本公式的比较、分析,说明它们多为Green公式的变形、推广或特例,从而阐明Green公式是现代分析学的基本定理,也是庞大的分析学分支间有机联系的纽带.关键词Green公式;分析学;基本定理.中图分类号O13;O17现代分析学是当代数学最基本的组成部分,拥有庞大的学科体系,如微分学、积分学,实变函数、复
2、变函数,常微方程、偏微方程,泛函分析、微分拓扑,等等.目前,分析学的各个分支均已形成了自己相对独立的理论体系,并相互促进着现代分析学的发展.分析学是数学的一门基础学科,也是许多数学分支的组合体.我们知道,在代数学中有基本定理,在微积分中也有基本定理,那么,在现代分析学中是否也存在基本定理?有哪个定理或公式可担当连接分析学庞杂而又相对独立的分支之间的动脉线呢?从分析学各分支中基本定理(或公式)的比较、分析后可清晰地得到,唯有Green公式可担当此重任.Green(1793-1841)是英国磨坊工出身的一流数学家和物理学家.他不仅是现代分析学的奠基人之一,还培育了数学物理方向的剑桥学
3、派,其中包括Stokes,Maxwell,JohnClark等伟大的数学物理学家,孤立子大师Russell、数学物理大师Dirichlet、几何学大师Grassmann、微分方程大师J.Liouville、C.F.Sturm以及数学王子Gauss等人的工作均深受其影响.以Green命名的科学名词、定理、公式、定律等充斥于分析学和物理学的各个分支,其中最著名的是Green公式和Green函数.Green公式(也称Green定理)在现代分析基础教程里一般描述如下:Green定理若函数P(x,y)、Q(x,y)在平面闭区域D上连续,且有连续的一阶偏导数,L为区域D的边界曲线,并取正方向
4、,那么有9Q9Pk(-)dR=Pdx+Qdy.(1)D9x9yRL上式Green公式的常见形式.下面我们通过一些例证揭示Green公式在分析中的重要地位和它与分析学各个分支间的密切联系.1一元微积分上述Green定理揭示的是平面区域D上的二重积分与区域边界L上曲线积分的关系.如果区域退化成一维线段,边界就退化成线段的两端点,这时就成了下面的结论:微积分基本定理若函数F在[a,b]上连续,Fc(x)存在且连续,则有bbFc(x)dx=F(x).(2)Qaa*收稿日期:2008-07-14.基金项目:浙江省教育厅科研项目(2009年度)和浙江海洋学院科研项目(X08Z04).44高等
5、数学研究2009年3月公式(2)是微积分里最著名的公式,即牛顿莱布尼兹公式.显然,Newton-Leibniz公式是Green公式的特例,或者说微积分基本定理是Green定理的特殊情形.2多元微积分如果将平面区域D提升一维,Green公式左端就应是3维体V上的积分,右端应是V的边界限2维曲面S上的积分,从而有下面结论:定理设空间区域V是由分片光滑的双侧封闭曲面S围成,3元函数P,Q,R在V上连续,且有连续的一阶偏导数,则有9P9Q9Rmdv=Pdydz,dv=Qdydz,dv=Rdxdy(3)V9xlSmV9ylSmV9zlS其中S取外侧.公式(3)就是多元微积分中著名的Guas
6、s公式,建立了三重积分和空间闭曲面上的积分之间的关系,由数学王子Guass将Green公式推广而得.将公式(3)的三个式子简单相加,可得Guass公式的另一常用形式:9P9Q9Rm(++)dv=hndS.(3c)V9x9y9zlS其中h=(P,Q,R),n是S的单位外法向量.3数学物理方程Green在分析学的成果当首推创立了超越Laplace和Poission求解数学物理问题的Green函数法,而Green函数法的基础是目前在许多数学分支和理论物理学常用的两个公式,称为Green第一公式和Green第二公式.9v9v9v设P=u,Q=u,R=u,将其带入公式(3),则有9x9y9
7、z9u9v9u9v9u9v9vmu$vd8+(++)=udS.(4)8m89x9x9y9y9z9zk989n将方程式(4)中u和v交换并与(4)式相减得9v9um(u$v-v$u)d8=(u-v)dS.(5)8k989n9n公式(4)、(5)就是所谓的Green第一公式和Green第二公式.在(5)式中令v=1则有9um$ud8=dS8k989n上式称为散度定理,是偏微分方程和理论物理学的基本定理之一.可见,Green第一公式和Green第二公式正是2维时的Green公式(1)推
