线性常微分方程的若干初等解法探讨 毕业论文

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1、线性常微分方程的若干初等解法探讨摘要：介绍求解常微分方程的几种初等解法，如常数变易法，积分因子法，拉普拉斯变换法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程解法，揭示了常微分方程的求解规律，从而找到最优解法.关键词：常数变易法；积分因子；特征根法；拉普拉斯变换0引言常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，

2、能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.1一阶常微分方程的求解方法1.1方程能解出1.1.1变量分离方程形如的方程称为变量分离方程.分别是的连续函数.例1.解将变量分离得;两边积分得:;第15页（共15页）因而通解为：（为任意常数）.这是一种相当简洁的解法，是最基本的解法，对于比较复杂的方程，需经过一系列变换，最后利用变量分离求解.1.1.2常数变易法对于一阶线性齐次方程它的通解为从此出发，将通解中的任意常数换成待定函数，假设（1）为一阶线性非齐次方程（2）的解，为了确定，将（

3、1）代入的左边，得到从而得到，即积分后得到，其中为任意常数把代入（1）中，得到方程（2）的通解为例2解方程：.解方程变形为令，则;代入变形方程为：;利用常数变易法，其中;则它的通解为;代回原来的变量，得到;即原方程的通解为;此外，方程还有解.第15页（共15页）常数变易法实际上也是一种变量替换法，虽然用其来解一阶非齐次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别，但将它推广到解高阶线性微分方程和线性微分方程组时就显出了它的优越性，变易常数思想是解微分方程的重要数学思想，对非线性方程（如贝努利方程，黎卡提方程）也可使用常数变

4、易法求解，并且常数变易法在数学分析中有很多应用，比如求解中值问题及存在性问题，祥见文献1.1.3积分因子法把一阶线性微分方程(1）改写为如下的对称形式：（2），一般而言，（2）不是恰当方程，但以因子乘（2）两侧，得到方程：，即它是恰当方程，由此可直接积分，得到这样就求出了方程的通解（3）为任意常数，其中为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求的，只有在很特殊的情况下才很容易求得.例3求解.解因为;则方程不是全微分方程，若把原方程改写为可以看出积分因子，因为上式两端同乘以，有;第15页（共15页）即从而得到方程的通积

5、分，或.此解法，目的明确，方法自然，学生很容易接受，逐步改变了一上来就直接用任意常数变易法求解一阶线性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，这一过程使我们顺利掌握了一阶线性微分方程的通解，同时更容易理解任意常数变易法，这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到任意常数变易法的巧妙之处.1.2方程不能解出这时把看作是的函数，再看是否能解出，成为方程可用以上方法求解；但对于不能显性表示为或或的方程，可分为两类：1.2.1方程能就（或）解出（或）这时令（或）把问题转化为求解关于与（或）之间的一阶方

6、程（或），再利用以上方法，求得通解为（或）则它与（或）一起构成原方程的通解的参数形式.例4研究克莱洛（claivaut）方程（1）.解令代入原方程假定两次可微且;两端对求导，得第15页（共15页）取则;代入（1）得到通解取，则即（2）;由于，则（2）中第一式存在隐函数，代入第二式就得到一个解，则这个解也可以由联立方程来表达.故克莱洛方程除了通解之外，还有一个由所决定的解.例5求解.解令，代入原方程;两边同时对x求导，则,则,则当时，；当时，，则，为任意常数,则得到方程参数形式的通解{，；且当时，也是方程的解.总结：由

7、于此方程的形式与前面所分析的类型不一致，，可以先观察所给的方程的形式，利用变量代换的思想，经过一系列变换，化为我们最熟悉的形式.1.2.2方程不能就，或解出对于形如或的方程，引入参数第15页（共15页），将方程表示为参数形式，再注意到关系式，就将问题转化为求解关于（或）与的一阶方程，且其导数（或）已表示为的已知函数，最后的工作就是求积分的问题.例6求解.解令，则原方程可化为：，则，；由于，则，两边同时积分，则；则原方程的通解为，.例7.解令，代入原方程为；则；由，则，；即,两边同时积分：；则原方程的通解为，.以上总结

8、了一阶常微分方程的几种解法，熟悉各种类型方程的解法，正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而按照所介绍的方法进行求解，这是最基本的要求.但是我们所遇到的方程未必都恰好是所介绍过的方程类型，因此要注意学习解题的技巧，善于根据方程的特点，引进恰当的变换，将方程化为能求解的新类型，从而求解；一阶微分方程的求解有众多方法，技巧性很强，想进一步