高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题全

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1、习题一1.下列函数是否相等,为什么?222(1)()fxxgx,()x;(2)ysin(3x1),usin(3t1);2x1(3)()fx,()gxx1.x1解:(1)相等.2因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由xx知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数fx()的定义域是{xxR,x1},而函数gx()的定义域是实数集R,两函数的定义域

2、不同,所以两函数不相等.2.求下列函数的定义域11(1)y4xarctan;(2)yx3;xlg(1x)x(3)y;(4)yarccos(2sin).x2x1解:(1)要使函数有意义,必须4x0x4即x0x0所以函数的定义域是(,0)(0,4].(2)要使函数有意义,必须x30x3lg(1x)0即x01x0x1所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须2x10即x1所以函数的定义域是

3、(,1)(1,1)(1,).(4)要使函数有意义,必须11112sinx1即sinx22ππ5π7π即2kπx2kπ或2kπx2kπ,(k为整数).6666ππ也即kπxkπ(k为整数).66ππ所以函数的定义域是[kπ,kπ],k为整数.661sin,x03.求函数yx的定义域与值域.0,x01解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当x0时,可以是不为零的任意实数,此x1时,sin可以取遍[-1,1]上所有的值,所

4、以函数的值域为[-1,1].x1x14.没fx(),求f(0),(fxf),().1xx11101(x)1x1xx1解:f(0)1,f(x),f().101(x)1xx1x11x1,1x05.设fx(),求fx(1).x1,0x21,1x101,0x1解:fx(1).(x1)1,0x12x,1x3x6.设fx()2,()gxxlnx,求fgx(()),(()),(())gfxffx和ggx(

5、()).gx()xlnx解:fgx(())22,xxxgfx(())fx()ln()fx2ln2(ln2)2,xxfx()2ffx(())22,ggx(())gx()ln()gxxlnln(ln).xxx3x17.证明:fx()2x1和gx()3互为反函数.23y1证:由y2x1解得x3,223x1x1故函数fx()2x1的反函数是y3(xR),这与gx()3是同一个函223x1数,所以fx()2x1和gx()3互为反函数.28.求下列函数的反函

6、数及其定义域:1x(1)y;(2)yln(x2)1;1x2x53(3)y3;(4)y1cosxx,[0,π].1x1y解:(1)由y解得x,1x1y1x1x所以函数y的反函数为y(x1).1x1xy1(2)由yln(x2)1得xe2,x1所以,函数yln(x2)1的反函数为ye2(xR).2x51(3)由y3解得x(logy5)322x51所以,函数y3的反函数为y(logx5)(x0).32(4)由y1co

7、s3x得cosx3y1,又x[0,π],故xarccos3y1.3又由1cosx1得01cosx2,3即0y2,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数y1cosxx,[0,π]的反函3数为yarccosx1(0x2).9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:x(1)y;(2)yxlnx21xxxx1解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当x0时,有0,当x0时,有,221x1x2x21x故x(,),有y.即函数y有上

8、界.221xx又因为函数y为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函21xx数必有下界,因而函数y有界.21x3xx(xx)(1xx)121212又由yy知,当xx且xx1时,yy,而1222221212121x1x(1x)(1x)1212当xx且xx1时,yy.121212x故函数y在定义域内不单调.21x(2)函数的定义域为(0,+∞),MM0,