数学模型入门与matlab等工具软件简介new

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1、第1章数学建模初步与MATLAB等工具软件简介（8学时）目的要求1.解初等数学在数学建模中的应用。2.了解初等模型的优势，并会用初等数学建立模型。教学重点难点教学重点是使学生了解初等数学建模的思想，难点模型的构造。教学方法及工具以多媒体为载体进行讲授式启发式教学。四、教学过程1.初等数学建模篇如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。通过本章介绍的若干实例读者能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。需要强调的是，衡量一个模型的优势全在于它的

2、应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法，进一步说，如果对于某个实际问题我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，它们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。1.1公平的席位分配某个学校3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别占有10、6、4个席位。现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如表2—1第2例所示。仍按比例（表种第3列）分配席位时出现了小数（表中第4列），在将取得整数的19席分配完毕后，

3、三系同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10、6、4席(表中第5列)。因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10：10的局面，会议决定下一届增加1席。他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表6、7列。显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。表2-1按照比例并参照惯例的席位分配系学生人数20个席位的分配21个席位的分配学生人数的比例别（%）比例分配参照惯例比例分配参照惯例的的席位的结果的席位结果甲10351.510.31010.81511乙6331.56.366.6157丙

4、3417.03.443.5703总和200100.020.02021.00021要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配[11]方法.1.1.1建立数量指标讨论A、B两方公平分配席位的情况。设两方人数分别P1和P2，占有席位分别是n和n，则两方每个席位代表的人数分别为P1/n1和P2/n2。显然仅当p//npn=121122时席位的分配才是公平的。但是因为人数和席位都是整数，所以通常p/npn≠/，这时席位分配不公平，并且P/n（i=2,1）数值较大的一方吃亏，或者说对1122ii这一方不公平。不妨假设p//n

5、pn>,不公平程度可用数值p//npn−衡量。如设p=120，p=100，1122112212n=n=10，则p/n-p/n=12-10=2，它衡量的是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程121122度明显不同的不公平情况。例如上述双方人数增加为p=1020和p=1000而席位n、n不1212变时，p/n-p/n=102-100=2，即绝对不公平程度不变。但是常识告诉我们，后面这种情1122况的不公平程度比起前面来已经大为改善了。为了改进上述绝对标准，自然想到用相对标准。仍记p、p为A、B两方的固定人数，12n、n为两方分配的席位（可变），若p//

6、npn>，则定义121122pnpn//−rnn(,)=1122A12………………………………（1）pn/22*）为对A的相对不公平值。若p/npn>/，则定义2211p//npn−rnn(,)=2211B12………………………………（2）pn/11为对B的相对不公平值。建立了衡量分配不公平程度的数量指标r、r后，制定席位分配方案的原则是使它们尽AB可能小。1.1.2确定分配方案假设A、B两方已分别占有n和n席，利用相对不公平值r和r讨论，12AB当总席位增加1席时，应该分配给A还是B。不失一般性可设p//npn>,即对A不公平，当再分配1个席位时

7、，关于P/n（i=2,1）1122ii的不等式可能有以下3种情况：1.p/(np+>1)/n,这说明即使A方增加1席，仍然对A不公平，所以这一席显然应1122分给A方。2.p/(np+<1)/n,说明当A方增加一席时将变为对B不公平，参照（2）式可计算出1122对B的相对不公平值为pn（）+121rnB(112+=,)n−1…………………………（3）pn121.1.3pnpn//>+(1)，即当B方增加1席时将对A不公平参照（1）式可计算出A的1122不公平值为pn（）+112rnnA(,12+=1)−1…………………………（4）pn21（不可能出

8、现pnpn//<+(1)的情况。为什么？）1122因为公平分配席位的原则是使得相对不公平值尽可能地小，所以如果rnBA(1