陕西省第五次大学生高等数学竞赛

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1、Vol.7,No.6高等数学研究Nov.,2004STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS57陕西省第五次大学生高等数学竞赛本科组复赛试题及答案本试卷共12题,满分150分。111111(15分)1计算33×3·93×9·273×27·813×81·⋯答案:(34)3x2(15分)1求y=2的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。x-1答案:(单调增区间有(-∞,-3),(3,+∞),单调减区间有(-3,-1),(-1,1),(1,3);3333极大值为yx==--3,极小值为y=2;凹区间有(-1,0),(1,+∞),凸区间有(-2x=3∞,-1),(

2、0,1);渐近线有:铅直渐近线x=-1,x=1,斜渐近线有y=x)x13(15分)1设f(x)在[a,b]上连续,证明:lim[f(t+h)-f(t)dt]=f(x)-f(a),x∈(a,b)+h∫ah→0答案:(f(x)-f(a))x4(15分)1设函数f(x)为偶数,且满足f′(x)+2f(x)-3∫f(t-x)dt=-3x+2求f(x)。答案:1025(15分)1设f(x)在[1,+∞)上有连续的二阶导数,f(1)=0,f′(1)=1,且二元函数z=(x+222225z5z-1y)f(x+y)满足2+2=0,求f(t)在[1,+∞)上的最大值。答案:e5x5y2x

3、+z26(15分)1设f(x,y,z)=222+lf(x,y,z)dydz+f(x,y,z)dxdy,其中∑表示xx+y+z∑22+y=R,z=R,z=-R(R>0)所围立体表面的外侧,求f(x,y,z)。答案:2x+z12222+πRx+y+z22tφ(t)tφ(xt)2x,x≠07(10分)1设φ(x)连续,lim=2,求lim。答案:t→0t-sintt→0t-sint0,x=02222228(10分)1设f(x,y)在D={(x,y)

4、x+yFR}上有一阶连续偏导数,在圆周x+y=R上f(x,-1xf′x+yf′yy)=0,且f(0,0)=2004,求lim22

5、dxdy。答案:2004ε→0+2πkx+y2222εFx+yFR5f9(10分)1设函数f(x,y)及它的二阶偏导数在全平面连续,且f(0,0)=0,F2

6、x-y

7、,5x5fF2

8、x-y

9、,证明:

10、f(5,4)

11、F1。5x10(10分)1位于点(1,0)处的物体A以大小为v0的速度沿平行于y轴正向的方向运动。位于点(0,0)处的物体B与A同时出发,且始终指向A、以大小为5v0的速度运动。求物体B运动5425的曲线方程。答案:y=(1-x)5[2(1-x)5-3]+)2424∞a011(10分)1设偶函数f(x)在[-π,π]上有二阶连续导数,f(x)～+∑ancosn

12、x,其中an是2n=1∞f(x)的傅立叶系数,证明∑an绝对收敛。n=1π/4πtanx+2sinxπ12(10分)1证明不等式+2<∫dx<1+。4x2058高等数学研究2004年11月专科组复赛试题及答案一、选择题(共5小题,每小题5分,满分25分)21111limtanx(lnsinx)=【D】(A)0(B)-1(C)(D)-π22x→2xe-1,x≠021设f(x)=x在x=0连续,则f(x)在x=0处的导数【C】a,x=011(A)不存在(B)等于1(C)等于(D)等于-22∞∞n131设p>0为常数,正项级数∑an收敛,则级数∑(-1)a2n+1sin【pB

13、】n=1n=1n(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性与p有关ee241设定积分I1=∫lnxdx,I2=∫lnxdx,则【A】112(A)I2+2I1=e(B)I2-21=0(C)I2-I1=0(D)I2-2I1=e222251设L为(x-1)+y=1,取逆时针方向,则∮(2x+2y+y)dx+(x-1)dy=【D】L(A)π(B)-π(C)2π(D)-2π二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)(x-1)22-x-x61设f(x)=(x-1)e+2e,则f″(x)x==10xxe71设f(x)是连续函数,F(x)=∫2f(t)dt,则F′(0)=f

14、(1)x2181微分方程yy″+y′=0满足初始条件y(0)=1,y′(0)=的解是y=1+x(x>-1)25z5z91设f,g均可微,z=fxy,lnx+g(xy),则x-y=f′25x5y222π101设D=(x,y)

15、xE0,0FyF1-x,则k1-x-ydxdyD6三、计算题(共9小题,每小题9分,满分81分)xxx265111设y=2-x,求y′

16、x=2的值。答案:2ln2-2(n)n(n-2)!121求(xlnx)。答案:(-1)n-1xx131求y=∫(1-

17、t

18、)dt的极值点、极值及拐点。-11答案:极小值点x=-1,极小