数值计算3new

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1、电力教研室数值计算方法梁海峰第二章非线性方程的数值解法内容1.二分法2.迭代法3.牛顿法4.弦截法5.误差特性要求1.掌握方程求根的二分法，知道其收敛性。2.掌握迭代法，知道其收敛性。3.掌握牛顿法。4.掌握弦截法。第二章非线性方程的数值解法四、弦截法牛顿法的突出优点—收敛速度快缺点—需要计算导数f′(x)。解决办法—用差商代替导数f(x)−f(x)k0即f′(x)＝用这样可以得到如x−x下形式：k0f(x)kx=x−(x−x)k+1kk0f(x)−f(x)k0第二章非线性方程的数值解法四、弦截法

2、f(x)−f(x)k0从几何意义上，差商为弦x−xk0线的斜率。故种算法称为弦截法。第二章非线性方程的数值解法四、弦截法几何意义：f(x)−f(x)f(x)=f(x)−10(x−x)10x−x10f(x)x4xx3xx1x02第二章非线性方程的数值解法2.快速弦截法：即用x代替xk-10f(x)kx=x−(x−x)k+1kkk−1f(x)−f(x)kk−1第二章非线性方程的数值解法四、弦截法快速弦截法f(x)−f(x)的几何意义：f(x)=f(x)−kk−1(x−x)kkx−xkk−1f(x)x3

3、xx4xxx021五、各种迭代法的误差特性一般迭代法：迭代公式：x{0x=ϕ(x)k=1,2,3Lkk−1由于真值：x*=ϕ(x*)所以：xk+1−x*=ϕ(xk)−ϕ(x*)据中值定理：ϕ(x)−ϕ(x*)=ϕ'(ξ)(x−x*)kkξ为xk和x*之间的某一点。第二章非线性方程的数值解法所以xk+1−x*=ϕ'(ξ)(xk−x*)即ek+1=ϕ'(ξ)ek说明第k+1次迭代误差和第k次迭代误差成线性关系。称一般迭代法具有线性收敛性。牛顿法：根据泰勒定理，若在真值x*的邻域内ϕ″(x)存在。k则有

4、：ϕ''(ξ)2ϕ(x)=ϕ(x*)+ϕ'(x*)(x−x*)+(x−x*)kkk2!其中ξ为x和x*之间的某一点。当x离x*很近时，kk认为ξ=x*，则有：ϕ''(x*)2ϕ(x)=ϕ(x*)+ϕ'(x*)(x−x*)+(x−x*)kkk2!第二章非线性方程的数值解法f(x*)f''(x*)Qϕ'(x*)==02[f'(x*)]ϕ''(x*)2∴ϕ(x)=ϕ(x*)+(x*−x)kk2!ϕ''(x*)2∴x−x*=ϕ(x)−ϕ(x*)=(x*−x)k+1kk2!2e=k'×ek+1k所以第k+1

5、次误差与第k次误差平方成正比。牛顿法具有平方收敛性。第二章非线性方程的数值解法同样方法可以证明：弦截法：线性收敛性e=k'×ek+1k快速弦截法：收敛速度比弦截法快。e=k'×eek+1kk−1第三章线性代数方程组的数值解法内容1.迭代法2.消去法3.矩阵分解法4.向量和矩阵的范数第三章线性代数方程组的数值解法要求1.知道线性方程组迭代解的收敛概念和两种迭代法的收敛性。2.理解线性方程组高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。3.熟练掌握矩阵分解法。4.理解向量和矩阵的范数第三

6、章线性代数方程组的数值解法⎧ax+ax+L+ax=b1111221nn1⎪⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2⎨⎪M⎪ax+ax+L+ax=b⎩n11n22nnnnAX=BDi克莱姆法则：x=,i=1,2,L,niDD表示detA，D表示D中第i列换成B后所得的行列式i第三章线性代数方程组的数值解法问题：当阶数变高以后，运算量太大实际的求解方法：直接法—优点：计算量少，可以事先估计所需计算的计算量。迭代法—算法简单，缺点：不一定能保证收敛。第三章线性代数方程组的数值解法3.1消去法基本思

7、想：将方程式两边同乘或除以某个数，将方程相加减，最终使每个方程式只含有一个变元，或只有一个变元未知，理论上解为精确值，实际中存在舍入误差。第三章线性代数方程组的数值解法一、高斯消元法设方程组⎧a11x1+a12x2+a13x3=a14⎪⎨a21x1+a22x2+a23x3=a24⎪ax+ax+ax=a⎩31132233334第三章线性代数方程组的数值解法一、高斯消元法矩阵形式⎡a11a12a13⎤⎡x1⎤⎡a14⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥aaax=a⎢212223⎥⎢2⎥⎢24⎥⎢aaa⎥⎢x⎥⎢a⎥⎣313

8、233⎦⎣3⎦⎣34⎦第三章线性代数方程组的数值解法一、高斯消元法高斯消元法计算步骤如下：1.若a≠0，则第1式除以a，“规格化”1111aaa121314x+x+x=1'123aaa111111(1)(1)(1)写成：x1+a12x2+a13x3=a14上角标（n）,表示运算次数。第三章线性代数方程组的数值解法一、高斯消元法2.消去第2式中的x:1可将1′式乘（-a）加到2式，得到：21(1)(1)(1)(a−aa)x+(a−aa)x=a−aa222112223211332421