物理原理在数学解题中的应用new

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1、万方数据中学数学研究2003年第8期物理原理在数学解题中的应用南京师大数学系99级教育硕士(210097)高云霞数学和物理有着不解之缘：复数的加减法的几何意义与力的合成与分饵同出一辙；解析r茁=茁，+以几何中直线的参数方程{，'‘，(t为参数)L，，2，，l+钟具有鲜明的物理意义；正弦曲线与弹簧振子的位移图象；二次函数的图象叫抛物线来源于物理中抛射体的运动；物理中的钟摆又叫数学摆；重心；导数与速度、加速度的性质⋯⋯．既然物理与数学有着如此深的渊源，那么用数学方法解决物理问题也就是理所当然的，但反过来，用物理方法、原理解数学题却往往不太受重视．其实，大数学家庞加莱曾说过：物理学不仅给

2、数学工作者一个解题机会，而且也帮助我们发现解题的方法．因此，在中学阶段应注意学科知识的横向联系及相互渗透，这将有助于提高人的综合素质与解决问题的能力．本文试举例说明物理原理在中学数学中的妙用，以期抛砖引玉．一、利用力学原理巧证三角等式例1求证：cos50+eos7"P+eosl49。+cos2210+cos293"=0．221。分析：按常规和差化积，繁!仔细剖析角的数量特征，发现相邻角都相差7第，联想到正五边形，如图1，根据力的合成与分解法则，显然五个力向量面+图1蔚+面+赢+赢：o，且各力向量在菇轴上分力之和为0，．．．嘲于4-c蔺甲+cod49*+cos2210+eos293*

3、=0．注：利用对称共点力可证下面三角等式：．27r4，r2mr1·懈磊五+嘲五鬲+⋯+008—2n—+1=一l(n∈Ⅳ。)^．2a"．．4，r。．L2胍z·锄芝ijl+sm2--gVi+⋯+眦—2n—+l2一l(11,∈N。)二、利用几何光学原理解最值应用题例2由河边城市A运货到另一地点B，占距河岸的垂直距离BC,=30千米，AC=40千米．如果水路单位运费是公路单位运费的一半，问怎样由B向河岸修一条公路，才能使A到B的运费最低?此题是一道综合应用题，若用常规方法列式求最值，不易，但用光学性质来解却很简洁．解：因为光线按最短路线传播，那么把单位运费(设为口)类比为媒质对光的折射率，

4、把运输线路(设某段路程为S)比拟为光线，as类比光程，所求运费图2最低的问题就可转化为光线从曰射向河岸再折向A的问题(折射角为号)．如图2，依条件得t<■oe^≈(采，tc噶t，p巴气e‘心／》o气e^闲，口e气≈，≯o乍C^啦／口。气心，po乍e1砖—S'蕾e气e^啦川—}te噶℃，掣'它e乍e^×’te乍c^o／F7口饥e1砖，≯o，∞一b，印=4+26，I口一卢12=(口+卢)2—4印=(6—2)2—16．·．‘6≤一3，．·．(b一2)2一16≥9jja—p12≥9辛l口一pIi>3．点评：将高次函数降次是解决高次函数问题常见的思路，这里通过因式分解实现，这比令厂(茗)=菇

5、3+k2+d=(菇一2)(菇一a)(茹一卢)，通过计算来得出口、p与6、d之间的关系要简单．由上不难发现，用导数为工具来研究高次函数，使得对一些较为复杂的高次函数的研究及应用更为简捷、明晰；同时，对研究其它类型的函数问题也有参考意义．口·39·万方数据2003年第8期中学数学研究里％=卷=占，-．．口=詈，从而AD=．ACIJ一一一，。·u一，’∥、，●一J—sin要口公路2‘o‘BC·tanol=40—30·等一23(千米)．三、利用直线参数方程的物理意义解应用题直线参数方程{茹2祝+a，t(1为参数)的物L，，2Yl+钟理意义是：(1)I表示从位置(茗1，，，1)运动到位置(茹

6、，，，)所需时间；(2)a、6分别表示菇、Y轴方向的分速度；(3)坐标(茗一视)与(，，一，，1)分别表示菇轴与Y轴方向的位移．例3据气象台预报，在A市正东方300千米的B处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向西北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问从现在起大约经过多长时间台风将影响A市，持续多长时间?(精确到0．1秒)解：如图3，建立坐标系，设经过t小时台风中心移至B’，则由直线参数方程的物理意义得∥(300+40teosl350，40tsinl350)即(300—20应f，20压￡)．由图3lA8’l≤250，得16t2—120√2t+275≤0，解得笪

7、掣≤≤墅掣，即2．0≤≤8．6tt，———r～≤≤———r一’剐厶≤≤石·’故大约经过2小时台风开始影响A市，持续时间6．6小时．四、利用重心原理巧求、巧证例4在ZXABC中，D、E三等分BC，F为AC的中点，BF分别交AD、AE于肘、Ⅳ，求△AMN与AABC面积之比．解：设在4、曰、C三点分别配置质量m、2m、m，则质点B(2m)和C(m)的重心在D处，质量为3m，质点A(m)和C(m)的重心在点F处，质量为2m，因为·40·BDEc图4B、F与A、D应有公共重心M