点集列最佳分布的构造

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1、第15卷第4期景德镇高专学报Vol.15No.42000年12月JournalofJingdezhenCollegeDec.2000点集列最佳分布的构造①②吴丹桂钱钶(①景德镇高专科研处景德镇333000;②景德镇高专政史系333000)〔摘要〕在一定条件下的点集分布、对其偏差的估计,是数论以及近似分析中的一个重要内容,针对最佳分布点集列作出探讨,主要结论是定理3、定理4。〔关键词〕点集;分布;近似分析;数论〔中图分类号〕O144.4〔文献标识码〕A〔文章编号〕1008-8458(2000)04-0029-051引理引理1.1适合于同余式x≡a(modm),1≤x≤nnn的整数x

2、的个数等于〔〕或〔〕+1.mmn证:把适合1≤x≤n的整数,按次序分成每m个整数为一段,共分为〔〕个整段并且可能还有一个m分段,每个整段中有一个整数适合同余式,分段中则可能有一个整数适合同余式(也可能没有),故证得引理1.1.引理1.2若m1,m2,⋯,mn为两两互素的正整数,则同余式组x≡ai(modmi),1≤i≤n有唯一的解modm1m2⋯mn.(著名的孙子定理,又名“中国剩余定理”)(其证明可见华罗庚《数论导引》第二章,科学出版社,1978年版)令r>1为一正整数,则任一正整数k可以唯一表示为:2Mk=k0+k1r+k2r+⋯+kMr,0≤ki≤r-1记为r进位数k=kM

3、kM-1⋯k1k0,(一种表示法,不代表乘法)〔0,1〕中任何数h一定可以表示为:h0h1hMh=r+2+⋯+M+1+⋯,0≤hi≤r-1rr记之为h=0.h0h1·⋯·hM·⋯.对应于一个正整数2Mk=k0+k1r+k2r+⋯+kMr⑴有一个(0,1)间的数与之对应k0k1kMφ(k)=r+2+⋯+M+1⑵rr如果kM≠0,由于:①〔收稿日期〕2000-09-24〔作者简介〕吴丹桂(1949-),男,江西波阳人,讲师。·30·景德镇高专学报2000年MM+1r≤k

4、确切些,有下面的引理引理1.3假设n>r,则点集φr(k),k=1,2,⋯,n⑷r—rn1有偏差φ(n)<(·⑸—rn证:令α适合于0≤α<1,把α写成为α=0.a0a1⋯aM⋯⑹(我们不妨假定α的位数是无穷的,如果α的位数有限,则可以将α最后一位减一,而后面添上无穷多个r-1),如果φr(k)<α,则正整数k必定适合以下的条件之一:1)k0

5、⋯,kM-1=aM-1,kM

6、,M+2)的解数各为:na0+ε,rna12+ε,rna23+ε,r⋯⋯⋯⋯naMM+1+ε,rnM+2+ε=εr其中ε为某一个适合于0≤ε≤1的数,但不一定都相等。令Nn(α)为适合于φr(k)<α(1≤k≤n)的k的个数,则:nnnNn(α)=a0+ε+a12+ε+⋯+aMM+1+ε+εrrrnnn及Na(α)-a0r-a12-⋯-aMM+1rr第4期吴丹桂钱钶:点集列最佳分布的构造·31·nnnnnn≤a0r-r-ε+a12-2-ε+⋯+aMM+1-M+1-ε+εrrrr≤a0+a1+a2+⋯+aM+1aM+1aM+2即得Nn(α)-αn≤a0+a1+⋯+aM+1+M+2+

7、M+3+⋯n⑺rr由于a0+a1+⋯+aM≤(M+1)(r-1)及aM+1aM+211M+2+M+3+⋯≤(r-1)M+2+M+3+⋯rrrr-1r-11=M+21-rr11=M+1r时,有:Nn(α)-αn≤(M+1)(r-1)+2—n≤+1(r-1)+2—rr—rn≤—r引理证完。2定理定理2.1假定ri(1≤i≤s)表示s个两两互素的大于1的正整数,又假定n>max{r1,r2,⋯,rs},则点集{φr(k),φr(k),⋯,φr(k)},k=1,2,3,