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1、作业第四章P2124.4(ii),(iii)P2134.7(ii)约束最优化方法P2144.9(ii)4.11南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net2凸集定义2.1.1设集合DR⊂n,若对于任意点x,y∈D,及实数α,0≤α≤1,都有αx+(1-α)y∈D,§2.1凸集与凸函数则称集合D为凸集.常见的凸集:空集(补充定义),整个欧式空间Rn,超平面H={x∈Rn
2、a1x1+a2x2+⋯anxn=b}半空间H+={x∈Rn
3、a1x1+a2x2+⋯anxn≥b}南京邮电大学数
4、理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net34凸集的例凸集的性质例2.1.2超球
5、
6、x
7、
8、≤r为凸集(i)有限个(可以改成无限)凸集的交集为凸集.证明设x,y为超球中任意两点,0≤α≤1,则有即:若Dj(j∈J)是凸集,则它们的交集
9、
10、αx+(1-α)y
11、
12、≤α
13、
14、x
15、
16、+(1-α)
17、
18、y
19、
20、D={x
21、x∈Dj,j∈J}≤αr+(1-α)r=r,是凸集.即点αx+(1-α)y属于超球,所以超球为凸集.(ii)设D是凸集,β是一实数,则下面集合是凸集βD={y
22、y=βx,x∈D}.南京邮电大
23、学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net561推论凸集的线性组合是凸集.凸集的性质k定义2.1.2设xi∈Rn,i=1,⋯,k,实数λi≥0,∑λi=1,ki=1(iii)设D1,D2是凸集,则D1与D2的和集则称xx=∑λii为x1,x2,⋯,xk的凸组合.i=1D1+D2={y
24、y=x+z,x∈D1,z∈D2}是凸集.注:和集与并集有很大的区别,凸集的并集未必是凸集,而凸集的和集是凸集.例:D1={(x,0)T
25、x∈R}表示x轴上的点,D2={(0,y)T
26、y∈R},表示y轴上的
27、点.两点的凸组合三点的凸组合多点的凸组合则D1∪D2表示两个轴的所有点,它不是凸集;容易证明:凸集中任意有限个点的凸组合仍然D1+D2=R2是凸集在该凸集中.南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net78极点极点定义2.1.3设D为凸集,x∈D.若D中不存在两例D={x∈Rn
28、
29、
30、x
31、
32、≤a}(a>0),则
33、
34、x
35、
36、=a上的点个相异的点y,z及某一实数α∈(0,1)使得均为极点x=αy+(1-α)z证明:设
37、
38、x
39、
40、=a,若存在y,zŒD及αŒ(0,1),使则称x为D的极点.
41、得x=αy+(1-α)z.则a2=
42、
43、x
44、
45、2=＜αy+(1-α)z,αy+(1-α)z＞凸凸≤α2
46、
47、y
48、
49、2+(1-α)2
50、
51、z
52、
53、2+2α(1-α)
54、
55、y
56、
57、
58、
59、z
60、
61、集集≤a2不等式要取等号,必须
62、
63、y
64、
65、=
66、
67、z
68、
69、=a,且·y,zÒ=
70、
71、y
72、
73、
74、
75、z
76、
77、,极点极点容易证明y=z=x,根据定义可知,x为极点.南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net910凸函数凸函数定义2.1.5设函数f(x)定义在凸集DR⊂n上,若定义2.1.4设函数f(x)定义在凸集DR⊂n上
78、,若对任意的x,y∈D,x≠y,及任意的α∈(0,1)都有对任意的x,y∈D,及任意的α∈[0,1]都有f(αx+(1-α)y)<αf(x)+(1-α)f(y)f(αx+(1-α)y)≤αf(x)+(1-α)f(y)则称函数f(x)为凸集D上的严格凸函数.则称函数f(x)为凸集D上的凸函数.将上述定义中的不等式反向,可以得到凹函数和严格凹函数的定义.南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net南京邮电大学数理学院杨振华制作yzhchina@yeah.net11122凸函数的例凸函数的几何性质例2.1.3设f(x)=(x–1)2,试证明f(x
79、)在(–∞,+∞)上是严格凸函数.对一元函数f(x),在几何上αf(x1)+(1-α)f(x2)证明:设x,y∈R,且x≠y,α∈(0,1)都有(0≤α≤1)表示连接(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的线段,f(αx+(1-α)y)-(αf(x)+(1-α)f(y))f(αx1+(1-α)x2)表示在点αx1+(1-α)x2处的函数=(αx+(1-α)y-1)2-α(x-1)2-(1-α)(y-1)2值,所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方.=–α(1-α)(x-y)2<0因此f(x)在(–∞,+∞)上是严格凸函数.例2.
80、1.4线性函数f(x)=cTx=c1x
