数值计算8new

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1、电力教研室数值计算方法梁海峰第五章数值积分和数值微分内容：数值积分两点公式、三点公式、五点公式复化梯形公式复化辛卜生公式复化柯特斯公式数值微分第五章数值积分和数值微分要求：掌握数值积分和数值微分公式第五章数值积分和数值微分b定积分I=∫f(x)dxa根据f(x)的不同特点有以下情况：（1）被积函数f(x)是x的简单函数（多项式函数、指数函数或三角函数及其组合等）定积分计算一般可用解析法求得它的解析解。（2）f(x)是一个复杂函数，定积分解析计算几乎不可能。（3）找不到初等函数表示原函数，可以得到一个列表函数。情况（2）、（3）只能用积分的数值方法来计算。数值积分问题的提出b近似计算

2、I=∫f(x)dxaF(x)不易得到牛顿—莱布尼兹公式：b∫f(x)dx=F(b)−F(a)a积分中值定理：b∫f(x)dx=(b−a)f(ξ)a≤ξ≤ba若能提供f(ξ)的一种近似算法，则可以得到一种数值积分公式。f(x)f(ξ)abξb求∫f(x)dx的几何意义a积分中值定理：b∫f(x)dx=(b−a)f(ξ)a≤ξ≤ban−1bf(x)dx=limf(x)∆x∫a∑kkn→∞k=0n−1bf(x)dx≈∆xf(x)∫a∑kkk=0n−1bf(x)dx≈Af(x)∫a∑kkk=0称为机械求积法。x为求积节点，A为求积系数。kk机械求积法直接应用被积函数f(x)在一些离散节点上

3、的函数值的线性组合得出积分的近似值。因此求定积分的问题转化为计算被积函数在节点处的函数值的问题。§2插值型求积公式插值型积分公式思/*interpolatoryquadrature*/利用插值多项式Ln(x)≈f(x)则积分易算。路F在[a,b]上取a≤x

4、j)f(x)bf(n+1)()n与无关。ξx=(x−x)dx∫a∏k(n+1)!k=0梯形公式（两点公式）：Lx=x−bfa+x−afb对于[a,b]上线性插值，有1()a−b()b−a()bbx−bb−aA=l0(x)dx=dx=0∫∫aaa−b2bbx−ab−aA=l1(x)dx=dx=1∫∫aab−a2bA=A=b−af(x)dx≈b−a[f(a)+f(b)]122∫2af(x)用直线代替曲边f(b)f(a)ab第五章数值积分和数值微分三点公式（辛卜生公式）a+b端点a，b作为求积结点，再补充c=2作为结点，构造二次插值多项式为：(x−c)(x−b)p(x)=f(a)2(a−

5、c)(a−b)(x−a)(x−b)+f(c)(c−a)(c−b)(x−a)(x−c)+f(b)(b−a)(b−c)第五章数值积分和数值微分将p(x)求积分得到：2bT=p(x)dx=λf(a)+λf(c)+λf(b)∫a2012计算求积系数作变换：b−ax=a+t(0≤t≤2)2则：b(x−c)(x−b)b−a21λ=dx=(t−1)(t−2)dt=(b−a)0∫a(a−c)(a−b)4∫06第五章数值积分和数值微分同理：b(x−a)(x−b)4λ=dx=(b−a)1∫a(c−a)(c−b)6b(x−a)(x−c)1λ=dx=(b−a)2∫a(b−a)(b−c)6辛卜生公式（三点公

6、式）：（过a，(a+b)/2，b作抛物线插值）bba−⎛⎛⎞ab+⎞If()≈=∫P2(x)dx⎜⎟f(a)+4f⎜⎟+f(b)a62⎝⎠⎝⎠y=P(x)2用抛物线代y=f(x)替曲边a(a+b)/2b第五章数值积分和数值微分五点公式（柯特斯公式）a+b若除端点a，b以及c=以外213再增加两个结点，d=a+(b−a)和e=a+(b−a)44用相似的方法可推导出下列柯特斯公式为：b−aC=[7f(a)+32f(d)+12f(c)+32f(e)+7f(b)]90　　　若某个求积公式所对应的误差定义R[f]满足：R[P]=0对任k意k≤n阶的多项式成立，且R[P]≠0对某个n+1阶多项

7、式n+1成立，则称此求积公式的代数精度为n。例：bb−a梯形公式∫f(x)dx≈[f(a)+f(b)]a2考察其代数精度。f(x)解：逐次检查公式是否精确成立f(b)bb−a代入P=1：∫1dx=b−a=[1+1]f(a)0a2abbb2−a2b−a[a+b]代入P1=x：∫xdx=2=2ab2b3−a3b−a22代数精度=1代入P=x2：∫xdx=3≠2[a+b]2a(n+1)f(ξ)f(x)=Ln(x)+ω(x),a≤ξ≤b(n+1)!当f(x)为n次多项式时b(