概率统计答疑

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1、释疑解难第一部分随机事件与概率问1.1：样本空间有什么性质？答：样本空间有以下两个性质：(1)每次试验必有属于样本空间中的某个样本点发生；(2)样本空间中的任意两个不同的样本点不会在同一次试验中出现。问1.2：如何判定在一次特定试验下事件A是否发生？答：事件A在该次试验发生当且仅当包含在A中的样本点在该次试验下发生。例如掷一枚骰子的随机试验，事件A为出现偶数点，则当且仅当掷骰子的结果出现2点，4点或6点之一时，事件A在该次试验出现。由此可见，一事件在一次试验中是否发生，只有当做了这次试验之后才能判

2、定，在试验之前是无法预知的（必然事件与不可能事件是少数的二个例外）。问1.3：并事件与交事件有何差别？答：我们以两个事件为例，A与B的并事件A∪B是由三部分样本点组成，即(Ⅰ)同时属于A及B；(Ⅱ)只属于A；(Ⅲ)只属于B（见下图1.1）。而A与B的交事件A∩B则仅仅由上述第(Ⅰ)部分那些样本点组成。A∩B(Ⅱ)（Ⅲ）BA(Ⅰ)A∪B图1.11212nn（甲）并联线路（乙）串联线路图1.2下面是一个实际例子：有线路甲、乙，甲是并联线路，乙是串联线路（见图1.2）。记A为元件i导通，i=1,"",n

3、，而事件A为线路导通，今要求分别对甲乙两种i线路用诸A或A表示事件A。ii对线路甲，只要1号到n号元件中有一个导通线路就导通。因而欲使线路甲不通，必须从1号元件到n号元件每一个都不通，也就是说A,"",A同时发生。1n因而A=A∩"∩A；对线路乙，只有1号元件到n号元件均导通，线路乙才能1n导通。因而只要1号到n号元件中有一个不通，则线路乙不通，所以，A=A∪"∪A。1n问1.4：以下两种陈述有何差别？(ⅰ)A,"",A有一个发生；1n(ⅱ)A,"",A恰有一个发生；1n答：在陈述(ⅰ)(ⅱ)中都

4、包含了A,"",A只发生一个的情况；但在陈述(ⅱ)1n排除了A,"",A中有2个或2个以上同时发生的情况，而对陈述(ⅰ)并未将这1n些情况排除在外。事实上我们可表述如下：{A,"",A有一个发生}=A∪"∪A;1n1n{A,"",A恰有一个发生}=AA"A∪AA"A∪"∪A"AA。1n12n12n1n−1n问1.5:对于“有放回抽取”与“无放回抽取”这两种情况，在计算概率时有何差别？答：有放回和无放回抽取这两种情形，使用的计数公式是不同的，因而概率m计算是不同的。如：从1到n个数字中有放回地连续抽

5、取m个，一共有n个不同的可能结果；而如改成无放抽取，则共有nn(−1)⋯(nm−+1)个可能结果。在应用中须判明究竟有放回还是无放回，这一点是重要的。问1.6：在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一。现见一例：掷两枚骰子，求事件A={点数之和等于5}的概率。下面的解法是否正确？如不正确，错在哪里？解法：因试验可能结果只有二个，一是点数之和为5，另一个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的一种，因而P(A)=1/2.答：此解法是错误的，这种解法是对样本空间进行了不正确的划分，分割出的二部分

6、不是等可能的，因而不能据此进行计算。正确的解法如下：掷二枚骰子的样本空间可形象地表为：Ω={(i,j):i,j=1,2,"",6}，对子(i,j)表示二枚骰子2分别出现的点子数，因而一个对子即对应着一个样本点，一共含有6=36个这样的对子，每个对子出现的可能性都等于1/36。而事件A只含有(1,4),(2,3),(4,1)，41(3,2)这样四个对子。因而P(A)==269问1.7：今有某超市抽奖销售，设共有n张券，其中只有一张有奖，问若每人只能抽一张，第k个人抽到有奖的概率是多少？试就有放回、无

7、放回两种方式回答该问题。1答：在有放回情形，第k个人抽与第1个人抽情况相同，因而所求概率为；n在无放回情形，样本点总数为n(n−1)""(n−k+1)，而有利样本点数为(n−1)(n−2)""(n−1−(k−1)+1)⋅1，所求概率为(n−1)(n−2)""(n−k+1)1=.n(n−1)""(n−k+1)n值得注意的是：两种不同的抽样方式得到的解答是一样的；而且此概率值与抽样次数k无关。这表明通常抽奖设计为无放回抽取可简化抽奖活动的程序，且对每个参加活动的人来说都是机会均等的。问1.8：概率为0

8、的事件是否必定为不可能事件？答：不是。反例如下：今向(0,1)区间随机投点，事件A为“落点恰好在1/2处”，显然事件A非不可能事件，但P(A)=0.问1.9：对于任意事件A,B,P(B

9、A)>P(B)（或者P(B

10、A)

11、A)=

12、A)=>P(B)99问1.10：条