方程思想与竞赛中的数论问题_乔希民

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1、第18卷第Vol.18No.33期商洛师范专科学校学报2《X只年9月JournalofShangluoTeachersCole罗SePt.2(洲:岭方程思想与竞赛中的数论问题乔希民(商洛师范专科学校数学系,陕西商洛72600:,摘要以方程思想理论为依据对国际数学奥林匹克竞赛中备受青睐的数论问题进行,灵活地运用方程思想方法解决了一些数论问题.了分析研究关健:;;词国际数学奥林匹克竞赛方程思想数论问题中图分类号:0156文献标识码:A文章编号:108一3030(20(科】03一《X)98一03,O问题

2、的提出与作用的辩证关系的认知添加辅助方程(如整,数论问题在已举行的四十五届国际数学奥系数或实系数一元二次方程)的作用常常在于,,可能导致对构造的方程的根与系数关系及根的林匹克(简称IMO)竞赛中约占32%即共出赛.,判别式的灵活利用题272道而涉及到数论知识或与之有关内容的,、、,在数域n题目就有87道除第三五七及十五届外每届P上的一元次方程设为都有,3道及以上者达十一届(最多的是嘶扩+al+.二+气lx+0(其中内尹0)(l)第三十了峪,.x‘,一届有5道本届东道主为中国)其之所以备受若P中的数

3、适合方程(1)则称价是方程.,:(l)在数域P上的根IMO青睐主要理由为(1)初等数论是从最简单、2x+e=,a,,。且极少的整数知识演绎归纳出千姿百态变化无对于二次方程。+b0(a笋0b是,,,穷且又是始终活跃的前沿数学领域;(2)数论虽整数)如果此方程有整数根则必须满足以下两.,个条件是典型的纯粹数学但又是日益得到广泛直接应“用的新的“应用数学”;(3)数论已成为国际通用1△=bZe4ac必须是完全平方数;.“”,0a一土-的世界语成为人类社会的为数不多的共同语2Zl(b饰工瓦面),;(4)它

4、又是培养和提高人们数学思想方二12二一二二言之一有时还利用韦达定理+x互两生列法与数学修养的重要题材,且生动活泼.但是,在aa,,出方程或不定方程进行分析讨论然而再运用整具体数论问题解决中更需要灵活多变的思维方.式,这无意间增添了题目解决的难度.事实上,只数的性质就可以求出整数根,,,,。x,xZx,、一般地设⋯是数域P上的方程式要深人分析探索还是能找到简洁优美而漂亮,.n:,(l)的个复数根则根与系数之间的关系是的解题思路今结合数学竞赛中的数论问题灵.,活运用方程思想以企探求到规律性的解题方艺a

5、lX尸l一法..五1思想方法探源艺xix气=1‘i一‘凡‘n吻,对于数论问题的已知量的分析与领悟在引,‘=一进适当的参变量以构成它们之间的数量关系表艺xi,气⋯xi(l)‘曳1毛几,、1“心杯一角峋达式并运用数学抽象语言(数学语言符号语言)转化为方程形式的数学模型(例如由方程与”二‘=一(l),n玉不等式构成的混合组)从而使数论问题获得解吻..,,决的思维方法其本质是源于人们对方程的实质这里第k个等式的左端是方程式(l)的x龙⋯:es一收稿日期2(X抖0720:we,,,作者简介乔希民(l96()

6、)男陕西洛南人商洛师范专科学校数学系讲师:第3期乔希民方程思想与竟赛中的数论问题。,,,.:二中任意k个乘积之和(k=l2⋯n),整除了+b:求证士互是某个整数使得ab+l薰乒〕+12应用以正整数的平方.例1(1991年英国数学奥林匹克试题)求,,。。:几“2+Z,。.:,劣2+,b,止~~‘,一止二证若x,y为正整数使得尹一被九少整除则证明设竿牛=q1’q1为正整数但q1不为平.一“一ab十1一一一~”一x为完全平方数方数.证明不妨设=,扩袱Zkxy(k为正整数)矿显然a,b是方程xZeqxy一

7、q二0(l)则关于y的二次方程.砂的正整数解尹一Zkxy+(x)二0,z-x设alb,是方程式(1)的使al+b:最小的正整,的根中有一个y,是整数则另一个,,且al)b,(由于方程式(l)是关于xy对称,数解x;也是整Zk一数其判别式,,护的故不失一般性的可设为al弟b:)于是al是方=x=x+△4[kZx七(Z-x)l4x[(k七l)1]应为完全平方数.程,+x%Zes(。一)=0由于Z一1)x+l互质(它们的最大公约qb:(2)与(k.,,,数(x(k七l)x+l)=(xl)=1)的一个解,

8、..所以x是完全平方数这样必有。:>q反之不成立因为、不为平.评析本题还可用反证法思想进行证明但方数,只能有。>b,则上述证法自然易想,简明而顺理成章.:一、。lal二一,(3)例2(1997年端士数学奥林匹克试题)设拭:,,n为正整数n<2o且矛+(n+1)2是完全平方数。:!一,。一。:,。,导出。。:故正整数。:妻>an.求:,一,,,从而(3)式左边一。al<0右边、。。矛解设nZ+(n+l)2=耐(。为正整数)则(n成卜.n+1,m)是勾股数组.盾,,,又因为(nn十1)