固体物理学83432

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1、2005年11月安庆师范学院学报(自然科学版)Nov.2005第11卷第4期JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScience)Vol.11NO.4XXX关于固体物理能带论中布里渊区的注记易明芳(安庆师范学院学报编辑部,安徽安庆246011)摘要:布里渊区是固体物理学能带论中的一个非常重要的概念,比较抽像,本文主要从布里渊区的描述及其特征等几个方面进行了讨论。关键词:薛定谔方程;布里渊区;原胞;正格子;倒格子中图分类号:O481.1文献标识码:A文章编号:1007-4260(2005)00-0075-031.晶体中薛定

2、谔方程及其解我们在讨论晶体的电子运动状态时,采取单电子近似,即假设晶体中的某个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场,以及其它大量电子的平均势场中运动,这个势场也是周期性变化的,而且它的周期与晶格周期相同,设晶体的晶格常数为a,则有V(x)=V(x+ma),式中m为整数。在这种周期[1]性势场的作用下,晶体电子所满足的薛定谔方程为:22¶d-2W(x)+V(x)W(x)=EW(x),(V(x)=V(X+ma)=u0)(1)2Ldx在单电子近似下,Bloch定理给出了以上方程解的形式为:ik′(x+a)-ik′(x)ik′(x+a)u(x)W(x+a)=e

3、eW(x)=ek′(2)-ik′xik′x其中uk′(x)=eW(x),W(x)=euk′(x)(2)式意为:uk′(x)为与晶格同周期的周期性函数,W(x)为其振幅,uk′(x)为随x作周期性变化的平均波,即调幅平面波。晶体中某一电子是在周期性排列的原子核势场及其它电子平均势场中运动,该等效势场具有与晶格相同的周图1电子在一维周期势场中的运动模型22B-A期特性,一维周期性势场中电子的运动模型如图1,这样给定u0,解方程(1)得sh(Bc)sin(Ab)+ch2AB(Bc)cos(Ab)=cos[k′(b+c)]=f(E)令k′=2Pk,cos[k′(b+

4、c)]=cos(k′a)=cos(2Pka)(3)2LE2L式中A=2,B=2(u0-E)¶¶2.布里渊区及其图示由于A、B都是能量E的函数,所以(3)式是能量必须满足的一个超越函数方程。由它决定粒子的能量许可值,由(3)式可得到如图2所示的曲线,由图可以看出,由于ûcos2kPaû≤1,所以f(E)-E曲线的两端被截掉,电子只允许在中间运动,从而形成了能带,这是周期性势场下粒子运动的特征。通过F(E)=cos(2kPA)可得到E(k)-k曲线,从图中容易看出由于ûcos(2kPA)û≤1,则在2ka=b时,能量E(k)出现n不连续,它成为允带和禁带的边界。

5、因此,允、禁带边界的k必须满足k=(n=0,±1,+2,⋯),而允带2aX收稿日期:2005-07-20XX作者简介:易明芳(1970-),女,安徽宣城人,编辑,专业方向为物理学和电子科学技术。·76·安庆师范学院学报(自然科学版)2005年出现在以下几个区域(称为Brilliouinzone)之内。11第一布里渊区-

6、即E(k)=E(k+),k和k+表示相同的状aaa态,所以可以只取-1ö2a

7、问题的处理更方便些,这种图示方式称为周期布里渊区图式,当然也可将不同的能带绘于k空间中不同的布里渊区中,这种做法称为扩展布里渊区图示。3.布里渊区边界方程设正格基矢为a1,a2,a3,以a1,a2,a3为边矢量的平行六面体的晶体中最小的周期性重复单元,称为原胞,其体积为V0=a1·(a2×a3),那么定义倒格矢b1,b2,b3它们,与a1,a2,a3的关系为a2×a3a3×a1a1×a2b1=,b2=,b3=a1·(a2×a3)a2·(a3×a1)a3·(a1×a2)则以b1,b2,b3为边矢量的平行六面体是倒格子中最小的周期性重复单元,称之为倒格子原胞,体

8、积为18=b1·(b2×b3),于是有8=V0对三维