影子价格的动态性质

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1、维普资讯http://www.cqvip.com1997年第l5卷第2期长春邮电学院学报l997VoI．15No．2JOURNAIOFCHANGCHUNPOSTANDTl0NSTITUTE影子价格的动态性质

2、7一郑培涵潘伟(磊i孚藤础部．■舟摘要从影子价格的实质出发，阐述了影子价格随资源变化而变化的动态性质给出在特定条件下，某一资源增加时的影子价格与减少时的影子价格的区别方法以及识别特定条件的简单方法，以便把握质的数量界限．利用影子价格的动态性质，指导经济活动，提高经济效益关蕾词经济数学方法兰垫堡堕；墅王±￡整；责源临界

3、值；对偶最忧基中圈法分类号F224．3文献[1]给出影子价格的实质。如果在其他资源不变的情况下，不断增加一种稀缺资源，将使该资源稀缺程度由大变小，乃至出现剩余。反应到影子价格上，则由高变低，最后变为零，这体现l『影子价格的动态性质。对于线性规划问题maxZ—G五百6『(J⋯’t{(1)l≥0(—1，2，⋯，n)影子价格是资源量b，的减函数(假定其余资源量不变)，其具体形态是个分段函数，在每一段上它等于常数，是式(1)的对偶规划最优基可行解的一个相应分量。由于各段的常数不同．函数有问断，使在间断点处，对偶规划的最优基可行解

4、不唯一，称在间断点处的资源量为临界值．可用5，表示假定式(1)有唯一最优解。若式(1)的资源量6不取临界值，其对偶规划有唯一最优解(，⋯，)，且最优解不变，则对任一资源b若增一单位，最优目标值z增，若减一单位，则z’减，有Z一~Y7b,(2)y(3)这时(1≤≤z)就是通常理解的第种资源的影子价格。若6，中至少有一个是临界值，例如一(1≤≤)，其对偶规划的最优基可行解收稿B期t1996—07—19辉培涵男1942年生教授维普资讯http://www.cqvip.com50长春邮电学院学报第15卷不唯～．其增一单位导至最优

5、值z的增加量与减一单位Z‘的减少量，是不相等的这意味着此时资源增加时的影子价格与减少时的影子价格不同，要加以区别假定已有一个临界值，相应对偶规划的最优解是(，，⋯，)和(“，，⋯，)．若>zd。刚在附近，式(2)应改为f：b≤z-一I_(4)【∑“6b>百它是资源b的分段线性函数，且在临界值处连续，左偏导数!一和右偏导数一“均存在．但不相等。这说明式(3)在临界值点不成立。为此，本文规定：当某一资源恰好取I临界值时，该资源增加时的影子价格与减少时的影子价格彼此不同对线性规划(1)，在数值上它们虽说仍是对偶规划多个最优基可

6、行解相应分量中⋯⋯的某一个，但增加时的影子价格为!，是所有相应分量中最小值；减少时为j专_，是所有相应分量中最大者，此时有>弓．而当资源不取临界值时，有弓一一bt—，即为通常所说的式(3)。例如．文献[3]中反例的对偶最优基可行解为(0，3／2，1／8．0)和(1／2．1，0．0)．则对资源向量(12，8，16，12)而言，甲、乙、丙3种资源取临界值．它们增加时的影子价格分别为O，1，0；减少时的影子价格分别为1，3／2，1／8；而丁种资源不取临界值，其增加时与减少时的影子价格相同，都是0．应当指出的是，上述关于在特定条

7、件下，对资源增加时的影子价格同减少时的影子价格须加以区别的规定，是从影子价格的实质和实际出发得到的必然结论。这里还要指明的是，导致影子价格变化的本质原因不是最优基的变化，而是某种资源在数量上恰好变为临界值。如下例：maxZ一2x】++缸3f4-z2+屯≤10(A资源)s．t2a-l+3x!≤20(且资源)(5)}≥0，一1，23式(5)的最优单纯形表如表l所示。表1式(5)的最优单纯彤表显然，A资源增加、且资源减少，或A资源减少、且资源增加，其影子价格向量都是维普资讯http://www.cqvip.com第2期郑培涵等

8、：影子价格的动态性质51(2．0)，即最优基变化了，影子价格却设变。此例的最优基可行解除T(io，o，。)，还有(0，o，i0)，可见对于不同的最优解，资源的影子价格也可能相同，对有的问题．最优基和影子价格都变化所以，最优基变化不是影子价格变化的本质原因。有一点是肯定的，若最优基不变．则影子价格一定不变。影子价格的动态性质亟待解决的问题是，对任意一个线性规划(1)．某资源的影子价格表现为静态的，还是动态的?换句话说，它的影子价格是否为通常意义下的?若不是．怎样从多个对偶最优解中，区分出哪个是增加时的影子价格?哪个是减少意

9、义下的影子价格。文献[2]给出了一些结果．笔者作了推进，得到一些新的结果。定理1设式(1)的最优单纯形表为丧2式(1)的最优单纯形丧则其对偶问题之最优基可行解不唯一的充要条件是存在某个基变量0一q一0(J一1．2．⋯，m)，使得x{