电动力学讲稿(第五章修改)

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1、第五章第五章第五章第五章电磁波的辐射电磁波的辐射电磁波的辐射电磁波的辐射ElectromagneticWaveElectromagneticWaveElectromagneticWaveElectromagneticWaveRadiationRadiationRadiationRadiation本章所研究的问题是电磁波的辐射。方法和稳恒场情况一样，当考虑由电荷、电流分布激发电磁场的问题时，引入势的概念来描述电磁场比较方便。本章首先把势的概念推广到一般变化电磁场情况，然后通过势来解辐射问题。本章主要内容本章主要内容电磁场的矢势和标势推迟势电偶极辐射磁偶极辐射和电

2、四极辐射电磁场的动量§5.15.1电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势VectorandScalarPotentialofElectromagnetic�1、用势A,ϕ描述电磁场为简单起见，只讨论真空中的电磁场。由Maxwell’sequations出发�⎧∇⋅D=ρ⎪�⎪�∂B∇×E=−⎪⎪∂t⎨�⎪∇⋅B=0⎪���∂D⎪∇×H=j+⎪⎩∂t����这里D=εE,B=µH.00��大家知道，齐次方程�∇⋅B=0，显然B的散度为零意味着�B是某个矢量的旋度，即��B=∇×AA的物理意义可由下式看出：����∫A⋅dl=∫∫B⋅dsLS�即在任一时刻，矢量A沿

3、任一闭合回路L的线积分等于该时刻通过以L为边线的曲面S的磁通量。�在非稳恒情况下，∇×E≠0。因而不能象在静��电场时那样引入电势ϕ来描述电场E(E=−∇ϕ)。�一般情况下，电场E一方面受到电荷的激发，另�一方面也受到变化磁场的激发。因此，E是有源��和有旋的场，E的等式中必然包含矢量A，从而由Faraday电磁感应定律可得：��∂B∂�∇×E=−=−(∇×A)∂t∂t∂因为时间和空间皆为独立变量，故∇与∂t可交换位置。��∂A于是∇×E=−∇×∂t�⎛�∂A⎞故∇×⎜E+⎟=0⎜∂t⎟⎝⎠可以看成一个矢量��∂A矢量(E+)的旋度为零，意味着它可表示为∂t某

4、个标量函数的梯度，因此��∂AE+=−∇ϕ∂t这里，仍用ϕ来表示这个标量函数，并且右边采�用“负号”以便与时间无关时仍回到静电场情A形中去，即电场为��∂AE=−∇ϕ−∂t��至此，我们既可以直接用场量E、B来描述电磁�场，也可以用矢量A和标势ϕ一起来描述电磁场，而两种描述方式的等价性的桥梁（bridge）就是��⎧B=∇×A⎪�⎨�∂A⎪E=−∇ϕ−⎩∂t注意：��∂A�a)当A与时间无关，即=0时,且E=−∇ϕ这时ϕ就直接归结为电势；∂t��∂Ab)绝对不要把E=−∇ϕ−中的标势ϕ�∂t与电势ϕ(E=−∇ϕ)混为一谈。因为在非稳恒情�况下，E不再是保守力场

5、，不存在势能的概念，这就是说现在的ϕ，在数值上不等于把单位正电荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为了区别于静电场的电势，把这里的ϕ称为标势（Scalarpotential)。c)在时变场中，磁场和电场是相互作用着的整�体，必须把矢势A和标势ϕ作为一个整体来描述电磁场。2、规范变换和规范不变性���虽然E和B，以及A和ϕ是描述电磁场的两���种等价的方式，但由于E、B和A、ϕ之间是微分方程的关系，所以它们之间的关系不是一一对应�的，这是因为矢势A可以加上一个任意标量函数�的梯度，结果不影响B，而这个任意标量函数��∂A�的梯度在E=−∇ϕ−中对E要发生影响

6、，但�∂t�∂A将E=−∇ϕ−中的ϕ与此融合也作相应的∂t�变换，则仍可使E保持不变。现在来研究，唯一地决定场的势可以确定到什么程度。�设ψ为任意的标量函数，即ψ=ψ(x,t)，作下述变换式：���⎧A→A′=A+∇ψ⎪⎨∂ψ⎪ϕ→ϕ′=ϕ−⎩∂t�于是我们得到了一组新的A′.ϕ′，很容易证明：���∇×A′=∇×(A+∇ψ)=∇×A+∇×(∇ψ)��=∇×A=B�∂A′∂ψ∂�−∇ϕ′−=−∇(ϕ−)−(A+∇ψ)∂t∂t∂t�∂∂A∂=−∇ϕ+(∇ψ)−−(∇ψ)∂t∂t∂t�∂A�=−∇ϕ−=E∂t��由此可见，(A′.ϕ′)和(A.ϕ)描述同一电磁��

7、场，换句话说，对于同一电磁场EB和，其势的选择并不是唯一的，通过变换式可以找到无穷�组(A,�ϕ)而对应同一个场。从变换式可以看出，矢势A仅仅确定到一个任意函数的梯度；标势ϕ�仅仅确定到同一任意函数的时间导数。因为势A和ϕ缺乏唯一性，我们可以按照一定的附加条件去挑选我们所需要的一组势，这些附加条件通常是势之间的关系，称为规范条件(Gaugecondition)，不同的场合可以选择不同的规范条件。从物理观点来看，物理上可测量的量一定是规范不变的，因此描述涉及电磁现象的物理规律—方程形式都应当在规范变换下保持不变，这就称为规范不变性(Gaugeinvariance

8、)。而变换式称为规范变换(Gauget