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1、1999年2月宇航计测技术第19卷 第1期信息论在确定误差分布律中的应用3陈丽英 文 摘 推导出各种分布情况下熵与方差的关系,并给出适用于各种分布情况下的熵与方差的关系式,介绍一个判断误差分布律的新方法。++ 主题词 信息论熵 标准误差 测量误差 误差分布1 引 言 在误差理论中,由于分布律的不同,测量结果的置信度也不同,因此要完整表达测量结果,必须给出测量误差的分布律。在现有的文献中,通常采用下述两种方法来确定分布律:(1)通过大量观测作出其直方图,确定概率密度函数的数学表达式或给出分布函数F(x)的曲线,即可估计出分布律;(2)根据理论分析或经验,假设被研究对象服从某
2、种分布律,然后通过有限次观测来推断原有假设能否被接受,这种方法又称适度检验。以上两种方法都是建立在对统计现象进行推理、判断基础上的,故一切结果都具有很明显的概率含义,同时也带有一定的主观性,再加上处理起来也很麻烦,因此人们在不断地寻求确定分布律的简捷方法。这里借助信息论中有关通信熵的原理,从熵与方差的关系出发,给出一个确定测量结果分布律的简单方法。1 熵与标准差的关系 具有某一概率分布的随机变量x,其熵与方差之间存在一定的对应关系。正态分布∞∞122-x/2σH=-∫p(x)logp(x)dx=-∫p(x)loge·dx-∞-∞2πσ=log(2πeσ)(1)收稿:19982
3、122043长春金融专科学校信息系,副教授,女,130022—6—©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net 对于各种非正态分布,只要知道该种分布的概率密度函数,代入熵的定义式,即可求出其熵与标准差的对应关系。 均匀分布H=log(23σ)(2) 三角分布H=log(6eσ)(3) 指数分布H=log(eσ)(4) 双指数分布H=log(2eσ)(5)这里就不一一列举了。通过对以上各种分布熵与标准差的关系式的分
4、析与归纳,我们可以得到对各种分布普通适用的通式H=log(Aσ)(6)2 根据熵与标准差的关系确定分布律 一般而言,对一组随机测量数据,我们不仅知道各个数据的数值大小,而且也知道各个数据出现次数占总测量次数的百分比,如果测量次数足够多时,该百分比即此数据的出现概率。这样我们就可通过相应的公式求出标准差σ和熵H,将它们代入式(6)即可求出A值的大小,将此A值与各种分布的A值比较(各种分布的A值即在熵与标准差的关系式中标准差σ前面的因子),看其和哪种分布的A值相等或相近,即表明该组测量值服从哪种分布。下面通过实例加以说明。例如测量某一电阻200次,其结果如表1所示。表1 测量结果
5、电阻值R/Ω12201219121812171216121512141213121212101200出现次数(mj)1382143544019911 由表1可见,1200Ω用3σ准则判断。显然是坏值,应剔除不用。以下计算均按199次进行。如果用表中数据作出统计直方图,则可判定该组数据服从正态分布。下面我们用熵与标准差的关系判断该组数据服从何种分布律。首先,根据下式q2σ=Σpj(R-R)(7)j=1mj求出标准差。式中Pj=,求得结果为σ=1.56。199其次,根据式(8)—7—©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishin
6、gHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.netqH=-Σpjlogpj(8)j=1求出熵值H=0.805最后,将熵值0.805和标准差1.56代入式(6)求出A值,A=4.10。对照各种分布的A值,我们发现,正态分布A=4.13。由此可判断该组测量值服从正态分布。从上例可以看出,根据熵与标准差的关系,按式(6)判断测量结果的分布律,只要计算无误,判断结果是相当准确的。这种方法可以完全排除人的主观因素的影响,从实测结果出发进行客观的判断,判断结果完全符合客观规律。利用这种方法判断测量误差的分布律,测量次数越多,判断结果越准确。比起传统的分
7、布假设统计检验方法来,计算量也小得多。由此可见,用新的方法确定测量误差的分布律具有较好适用性。参 考 文 献1[日]有本卓著.近代信息论,人民邮电出版社,1985.2 沙定国.实用误差与数据处理.北京理工大学出版社,1993.3 费业泰.误差理论与数据处理(第3版),机械工业出版社,1995.ApplicationofinformationtheorytothedaterminationoferrordistributionlawChenLiyingAbstractTherelationsh
