电磁场与电磁波18_有限差分法new

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1、电磁场与电磁波ElectromagneticFields&Waves第18讲有限差分法褚庆昕华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:22236201-601Email:qxchu@scut.edu.cnResearchInstituteofRF&WirelessTechniques第18讲内容引言导数的有限差分近似Possion方程的有限差分近似边界条件的差分处理差分方程的迭代算法SouthChinaUniversityofTechnology教材p196-202ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques18.1引言

2、有限差分法是一门最古老的数值计算法。有限差分法把连续空间离散化，把导数以差分近似，从而把偏微分方程转化为差分方程组（代数方程），再采用适当的算法求解，得到原问题的近似解。空间离散化的越细，解的误差愈小，但差分方程组的未知量也愈多，相应的计算负担（计算容量、时间时间）也愈大。由于计算机的飞速发展，有限差分法已成为电SouthChinaUniversityofTechnology磁场计算的非常有效的方法。ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques偏微分方程空方边间程界离离离散散散差分方程SouthChinaUniversityofTec

3、hnology迭代法求解ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques18.2导数的有限差分近似首先将连续空间用网格离h散化根据研究的问题，离x散化网格可以是长方形、hy三角形等。考虑连续函数()x在x处0的泰勒级数展开()xx()x0连续空间长方形网格离散化xx02311234xx()x23SouthChinaUniversityofTechnology2!xx3!xx0044式中，()x表示x的高阶量，xxx0ResearchInstituteofRF&WirelessTechni

4、ques于是在节点1和节点3处的函数值为2311234hhh()h10x23xxxxxx2!3!x0xx00hx是23网格在11234hhh()hx方向30x23xxxxxxx2!xx3!的步长000上面两式相减，得13313()hxxhx22xhx几0上面两式相加，得何2意103224103()h义22x2xhhxxxSouthChinaUniversityofTechnology0？显然，二阶导数差分精度高于为一阶导数差分。ResearchIns

5、tituteofRF&WirelessTechniques18.3Possion方程的有限差分近似22考虑Possion方程22Fxy在长方形离散网格中，用差分近似二阶导数，可得221032042244()()hh2222xyxyhhxyxy00于是，得到Possion方程的差分方程22103204F220hhxySouthChinaUniversityofTechnology1222222或()hhhhFhh0122yxyxx2340y2(hh)xyResearc

6、hInstituteofRF&WirelessTechniques如果离散网格为正方形hhh，则xy2hF1234004对于Laplace方程123404中点值等于周围四点值的算术平均值，称为五点差分格式。SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques18.4边界条件的差分处理【第一类边界条件】因为给出了边界上函数值，所以可直接代入差分方程参与计算。【第二类边值条件】给出的是边界G上函数的法向导数值，若边界G与网格线重合，设想边界G向

7、外延拓一个步长，得到一系列虚设的节点（如图节点1），于是*2*132

8、h

9、301013n0nh24虚设的节点1为第一类边值点。SouthChinaUniversityofTechnology写边界G上的差分方程时，把第二类边界条件的差分处理它作为已知值代入即可。ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques【介质分界面边界条件】先假设全填充介质a，节点1为虚拟点，则*2hF1234004再假设全填充介质b