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1、第11讲：线性相关与朗斯基行列式邓引斌Email:ybdeng@mail.ccnu.edu.cn华中师范大学邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20131/19目录1第10讲复习2函数的线性相关与线性无关3线性相关与朗斯基行列式的关系4附注邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20132/191第10讲复习2函数的线性相关与线性无关3线性相关与朗斯基行列式的关系4附注邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20133/19存在唯一性定理:Theorem4.
2、2.1:?,?,?∈?0(?).Theninitialvalueproblem′′′′′?+?(?)?+?(?)?=?(?),?(?0)=?0,?(?0)=?0,(1.1)existexactlyonesolution?=?(?),andthesolutionexiststhroughouttheinterval?.邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20133/19叠加原理Theorem4.2.2:(PrincipleofSuperposition)If?1and?2aretwosolutionsof′
3、′′?[?]≡?+?(?)?+?(?)?=0,thenthelinearcombination?1?1(?)+?2?2isalsoasolutionforanyvaluesoftheconstants?1and?2.邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20134/19始值问题的解与朗斯基行列式Theorem4.2.3:?1and?2是方程′′′?[?]=?+?(?)?+?(?)?=0,的两个解且朗斯基行列式′′?(?1,?2)(?0)=?1(?0)?2(?0)−?1(?0)?2(?0)̸=0则存在常数?1
4、,?2使得?=?1?1(?)+?2?2(?)满足上述ODE和初始条件′′?(?0)=?0,?(?0)=?0.邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20135/19通解与基本解组Theorem4.2.4:If?1and?2aretwosolutionsof′′′?[?]=?+?(?)?+?(?)?=0,andifthereisapoint?0wheretheWronskianof?1and?2isnonzero,thenthefamilyofsolutions?=?1?1(?)+?2?2(?)witharbi
5、trarycoefficients?1and?2includeseverysolution.邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20136/19基本解组:1)?1?2是解，2)存在?0∈?使得?(?1,?2)(?0)̸=0。通解：?=?1?1+?2?2,其中?1,?2是基本解组。邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20137/19基本解组的存在性Theorem4.2.5:Assume?,?∈?,?0∈?.Let?1bethesolutionof′′′′?+?(?)?+?(?)?
6、=0,?(?0)=1,?(?0)=0,andlet?2bethesolutionoftheinitialvalueproblem′′′′?+?(?)?+?(?)?=0,?(?0)=0,?(?0)=1.Then?1and?2formafundamentalsetofsolutions邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20138/191第10讲复习2函数的线性相关与线性无关3线性相关与朗斯基行列式的关系4附注邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基行列式WUHAN20139/19Twofunctio
7、ns?and?aresaidtobelinearlydependenton?ifthereexisttwoconstants?1and?2,notbothzero,suchthat?1?(?)+?2?(?)=0(2.1)forall?in?.Thefunctions?and?aresaidtobelinearlyindependenton?iftheyarenotlinearlydependent;thatis,Eq.(2.1)holdsforall?in?onlyif?1=?2=0.邓引斌(华中师范大学)第11讲；线性相关与朗斯基
8、行列式WUHAN20139/19EXAMPLE1:Thefunctionssin?andcos(?−?/2)arelinearlydependentonanarbitraryinterval.EXAMPLE2:Thefunctions
