ecc算法在数字签名中的应用

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1、2006年3月渭南师范学院学报March2006第2l卷第2期JournalofWeinanTeachersCollegeVo1．21No．2ECC算法在数字签名中的应用庞闻(西北工业大学软件学院，西安710072)摘要：ECC算法具有高安全性、低消耗、运算速度快的特点，在数字签名领域有良好的应用前景．文章对ECC算法的数学原理安全性能进行了分析，指出了ECC算法在数字签名领域应用的优点，关键词：ECC~ECDIP；公钥体系；数字签名中圈分类号：TP31文献标识码；A文章编号：1009-5128(2006)02-0041一O3收稿日期：2005一O9—23作者简介：庞闻(1

2、981一)，男，陕西扶风人，西北工业大学软件学院硕士研究生．随着通讯网络特别是INTERNET的高速发展，利用网络作为信息交流和信息处理变得越来越普遍，社会的传统事务和业务运作模式受到前所未有的冲击．目前，无论是国家政府还是企业都正融入这场网络革命中，从其原来的传统经营模式向网络模式演化．未来的电子政务、电子商务、电子业务将成为不可逆转的发展趋势．在与日俱增的网络活动中，人们越来越关心信息安全这个问题．目前，RSA算法已广泛应用到网络安全的各个领域．1985年NeilKoblitz和VictorMiller提出基于椭圆曲线理论的椭圆曲线密码系统(ECC体系)，其安全性建立在

3、椭圆曲线离散对数的难解性的基础上，在同等密钥长度的条件下其安全性远高于RSA算法．目前已正式列入了IEEE1363标准，在网络安全领域有着广阔的应用前景．1ECC的数学原理1．1椭圆曲线的定义在实数系中，经过～定步骤的化简。椭圆曲线可定义成所有满足方程式E：Y一。+ax+6的点(，)所构成的集合．定义中还包括一个特殊的点0．它并不在曲线E上．称之为无限远点(thepointinfinity)．若方程式E—。+4+6没有重复因式或44。十27b≠O，则E—。+4+6称之为群(group)．若44。+27b一0，则曲线为退化曲线．ECC所研究的正是模为P的椭圆群，E：Y一。+4

4、+6(modP)．其中点P=(x，Y)对x坐标轴的对应点为一P一(x，一y)，称之为点P的负点．若nP—o且n为最小的正整数，则n称之为椭圆曲线E上点P的秩．除了无限远点。以外，椭圆曲线上任何可以生成所有的点都可视为E的生成数。但反之并不是所有在E上的点都可以视为生成数+1．2椭圆曲线运算的几何定义两个相异的点相加：假设P和Q是椭圆曲线上两个相异的点。而且P不等于一Q．如果P+Q—R。则点R是经过P、Q两点的直线与椭圆曲线相交之唯一交点的负点．双倍的点P；令P+P一2P，则点2P是经过点P的切线与椭圆曲线相交之唯一交点的负点．1．3椭圆曲线的运算规则(1)加法规则：1)对所

5、有的点P∈E(EP)，有P+O—O+P—P，P+(～P)O．2)令P一(xl，Y1)∈E(FP)及Q一(x2，y2)∈E(FP)，且P≠一Q。贝UP+Q一(x。y3)，其中，x3一一xl—x2，Y3=X(xl—x3)一ylf—Y2-—Ylif尸≠QIx2一xl一ILifP=O3)如果s，f∈F，则对所有的点P∈E(E，)，(s+￡)P—sP+fP(2)乘法规则：·42·庞闻：ECC算法在数字签名中的应用第21卷k次，一———一1)如果t∈F，，对所有的点，∈E(E)，KP—P+⋯+P．2)如果，t∈F，则对所有的点P∈E(Ep)，(fP)一(st)P．1．4椭圆曲线的离散对

6、数问题(ECDLP)根据椭圆曲线的数量乘的定义，可以找到一个点P∈E()，满足k∈Fp，kP—P+⋯+P(共有k个P)．若存在椭圆曲线上的另一点Q≠P，满足方程kP—Q．椭圆曲线离散对数问题就是在已知P，Q的情况下求屉的过程。即k—logQ．在数学上，离散对数(DLP)求解是非常困难的，必须通过附加结构亚指数时间的索引计算方法求解．而有限域上的椭圆曲线的代数对象由一个基本运算构成，没有此类的附加结构，所以不能由索引的方法求得．对于有限域上的大素数因子椭圆离散对数问题，目前还没有有效的攻击方法，也构成了椭圆曲线密码体制的数学基础．2椭圆曲线密码体制在数字签名中的应用由于椭圆曲

7、线密码体制是建立在公钥加密体系基础上的，所以它不但可以应用于通信加密，而且还可以应用于数字签名领域．设椭圆曲线公钥密码系统参数为(，E，n。b，r，G)，其中是有限域，E是上的椭圆曲线，a。b是椭圆曲线E的系数，r是一个大的素数，G是椭圆曲线E上秩为r的点．2．1密钥的产生用户A随机选择一个[1，r一1]之间的整数作为私钥s，计算点V~-sG，其中(G，)是公钥。并令一(。Y)．2．2签字过程(1)利用IEEE1363中的FE2IP程序将z化成一整数；(2)计算c—imodr；(若17—0，则重新选取私钥)(3)m