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1、第4章矩阵分解与表示(I)高斯消去法假设矩阵A的顺序主子式D≠0(i=1,…,n-1),i则我们可以进行以下的顺序消元过程1．消元过程(k+)1(k)(k)a=a−mai,,j=k+,1k+,2L,nijijikkj(k+)1(k)(k)b=b−mb,i=k+,1k+,2L,niiikkT等价于用初等矩阵L=I−le分别kkk(k)(k)左乘A和b，即(k+)1(k)A=LA(1)kT其中，l=,0(L,0,m,m,L,m),kk+,1kk+,2kn,k(k)(k)m=a/a,i=k+,1L,nikikkk(k)我们称m为消元因子，a为主元素；ikkk消元过程的一个重要性质是：消元过
2、程不改变矩阵的顺序主子矩阵的行列式(顺序主子式)的值。例⎡12−1⎤⎢⎥A=−131,顺序主子式为，1，5，−10⎢⎥⎢⎣−210⎥⎦⎡12−1⎤)2(+1()3(),+2*()1⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎯⎯050,顺序主子式为，1，5，−10⎢⎥⎢⎣05−2⎥⎦⎡12−1⎤)3(−)2(⎢⎥⎯⎯→⎯050，顺序主子式为，1，5，−10⎢⎥⎢⎣00−2⎥⎦(i)引理：约化的主元素a≠0的充要条件是ii矩阵A的顺序主子式D≠0(i=1,…,k);i推论：若矩阵A的顺序主子式D≠0i(i=1,…,k)，则)1((i)a=D，a=D/D,i=,2,1L,k；111iiii−1由此有若A对称正定或严格
3、对角占优，而它们的顺序主子矩阵也是对称正定或严格对角占优，从而顺序主子式不为0，顺序高斯消去过程可进行；2.回代过程：⎧xba=()nn/()nnnn⎪n⎪()kk()()k⎨xk=−()bak∑kj/akk,⎪jk=+1⎪⎩knn=−−1,2,L,1⎡12−1⎤⎡−1⎤⎢⎥⎢⎥设A=−131，b=1,⎢⎥⎢⎥⎢⎣−210⎥⎦⎢⎣3⎥⎦用高斯消去法解线性方程Ax=b.⎡12−1−1⎤⎢⎥增广矩阵为−1311⎢⎥⎢⎣−2103⎥⎦⎡12−1−1⎤)2(+1()3(),+2*()1⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎯⎯0500⎢⎥⎢⎣05−21⎥⎦⎡12−1−1⎤)3(−)2(⎢⎥⎯⎯→⎯0500⎢⎥⎢⎣0
4、0−21⎥⎦⎡12−1−1⎤−2/)3(⎢⎥⎯⎯→⎯0500⎢⎥⎢⎣001−2/1⎥⎦⎡12−1−1⎤5/)2(⎢⎥⎯⎯→⎯0100⎢⎥⎢⎣001−2/1⎥⎦⎡100−2/3⎤)1(+)3(−2*()2⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎯0100，⎢⎥⎢⎣001−2/1⎥⎦因此，问题的解为⎡−2/3⎤⎢⎥x=0⎢⎥⎢⎣−2/1⎥⎦3.数值稳定性1)选列主元；2)选全主元；3)高斯若当(Gauss-Jordan)消去法，求矩阵的逆;⎡12−1⎤⎢⎥−1A=−131,求A.⎢⎥⎢⎣−210⎥⎦⎡12−1100⎤⎢⎥增广矩阵为−131010⎢⎥⎢⎣−210001⎥⎦⎡12−1100⎤)2(+1()3(),+2
5、*()1⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎯⎯050110⎢⎥⎢⎣05−2201⎥⎦⎡12−1100⎤)3(−2(5/)2(),⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎯0105/15/10⎢⎥⎢⎣00−21−11⎥⎦⎡1202/12/1−2/1⎤−)1(,2/)3(+)3(⎢⎥⎯⎯→⎯⎯⎯0105/15/10⎢⎥⎢⎣001−2/12/1−2/1⎥⎦⎡100/110/110−2/1⎤)1(−2()*2⎢⎥⎯⎯→⎯⎯0105/15/10⎢⎥⎢⎣001−2/12/1−2/1⎥⎦从而⎡11−5⎤−11⎢⎥A=22010⎢⎥⎢⎣−55−5⎥⎦4．高斯顺序消元法解方程的计算量321)乘除次数：n3/+n−n3/322)加减次数：n3/+n
6、2/−5n6/43)求矩阵的逆的计算量为o(n)(II)顺序消元过程与矩阵的三角分解−1T−1T(1)L=(I−le)=I+lekkkkkT(2)若i≤j,则有el=0，从而ijTTTT(I+el)(I+le)=I+el+le，iijjiijj−1−1−1TTTLLLL=I+el+le+L+le12n−11122n−1n−1=L(k+)1(k)(3)由A=LAk)1(−1−1−1(n)有A=A=LLLLA12n−1故有A=LU，(n)其中U=A，TTTL=I+el+le+L+le.1122n−1n−1这时L为单位下三角矩阵。矩阵的三角分解TA=(a1,a2,…,an)=PR=(p1,
7、p2,…,pn)R(a)LU分解(Doolittle分解)(1)存在唯一的条件;(顺序主子式不为0)(2)公式推导;(矩阵乘法)定义4.1如果方阵A可分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，则称A可作三角分解.如果方阵A可分解成A=LDU,其中L为一个单位下三角矩阵，D为对角矩阵，U是一个单位上三角矩阵,则称A可作LDU分解。推论：若矩阵A的顺序主子式Δk≠0(k=1,…,n)，则A可唯一分解为A=LDU,其中L为一个单位下三角矩阵，D为对角矩阵，
