01误差(工程数学)new

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1、第一章算法与误差11、误差的来源1.1模型误差定量分析时，抓住事物的主要因素而忽略其次要因素，建立起来的数学模型与现实原型之间必然有着某些差距和差异，它是现实原型的近似。称这种误差为模型误差。2013年9月1日星期日21.2截断误差在将连续问题离散化的过程中，在将无限问题有限化的过程中，因为计算机只能完成有限次运算而产生的误差称为截断误差或方法误差。∞1例1、讨论Euler数e的计算：e=∑.n=1n!N*1计算e,需要选择一个整数N,近似值e=∑。n=1n!*如果没有其它误差，那么ee−就是截断误差了。31.3数值运算误差对数进行运算，无论是人工还是计算机，都只能计算有限位数，与

2、原始数据之间可能有些误差，而每一步计算的过程也可能因四舍五入而产生误差，我们称这种误差为数值运算误差或舍入误差。在数值计算中，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响，模型误差是应用科学和数学建模研究的对象。42误差的基本概念2.1绝对误差**准确值x与其近似值x之差称为x的绝对误差（误差），**记为ex()，简记为e．**ex()=xx−．*但一般来说，不能准确知道ex()的大小．有时可以通过测量或分析、计算估计其绝对值的上界．5*如果ε()x满足：***ex()=−≤xxε()x**那么ε()x叫做x的绝对误差限，(误差限、绝对误差)。*简记为ε。61−3例2.求3的近似值，

3、使其绝对误差限不大于×10。2解：因为3173205=.?．由于ε(*1.732)=3−1.732≤0.0005，所以x*=1.732。事实上，这个误差限，就是在准确值第三位小数后面进行舍入得到．72.2相对误差*设准确值x的近似值x,称：**ex()ex()=rx**为近似数x的相对误差，简记为er。****ex()如果ε()x满足：ex()=≤ε()x，rrrx**则称ε(x)为近似数x的相对误差限。8r*相对误差限简称相对误差，简记为ε。r在实际运用中，x通常是不知道的，因而常用下式代替相对误差**ex()ex()=，r*x相对误差一般用百分数来表示。9例3.设x*=−.21

4、8,y*=.21200分别是由准确值x和y经过四舍五入得到的近似值，问ε(*)x、ε(*)y、ε(*)x、ε(*)yrr分别是多少？102.3有效数字设数x的近似值：*mxx=±(01.12x??xn)×0其中xi()i=12,,?是0到9间的数字，x1≠0，m是整数称为阶。11如果：*1m−nx−x≤×102*则称x有（至少）n位有效数字或x是有效数字，n表示x及其左边的数字都是“准确的”。n*m事实上，x是±×(01.xxx......)0式中在第n位小数后12n面舍入得到。关注：有效数字与误差有直接关系。1213**例.设ππ==3.14159265,3.1416,问π有几位

5、有效数字？14**m定理1.1设x的近似数x为xx=±()01.x......x×0，12n*如果x有n位有效数字，那么相对误差*(1−n−1)ex()≤×10；r2x1*1mn−证明：1）因为：xx−≤×10，2xx−*1×mn−*2101−()n−1所以，ex()=≤=×10。r*m−1xxx×1021115我国科学技术委员会正式颁布的《数字修约规则》，通常称为“四舍六入五成双”法则。四舍六入五考虑，即当尾数≤4时舍去，尾数为6时进位。当尾数四舍为5时，则应是末位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍去，5前为奇数应将5进位。这一法则的具体运用如下：a.将28.175和28.16

6、5处理成4位有效数字，则分别为28.18和28.16。b.若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加1，例如28.2645处理成3为有效数字时，其被舍去的第一位数字为6，大于5，则有效数字应为28.3。c.若被舍其的第一位数字等于5，而其后数字全部为零时，则视被保留末位数字为奇数或偶数，而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位数为偶数时不进1。例如28.350、28.250、28.050处理成3位有效数字时，分别为28.4、28.2、28.0。d.若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全部为零时，则进1。例如28.2501，只取3位有效数字时，成为28.3。e.若被舍弃的数字包括

7、几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根据以上各条作一次处理。如2.154546，只取3位有效数字时，应为2.15,而不得按下法连续修约为2.16：2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16*例4．已知近似数x有两位有效数字，求其相对误差限。*解：由定理1.1的1），已知n=2，但近似数x的第一位有效数字x未知．1为估计误差限，可按第一位有效数字出现的最不利的情况估计，即令x=1，则1*(11−−n12)(−−1)ε≤×10≤×10==0