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1、实用文案如何提高自身数学分析水平？论坛上朋友们的请求,说说我自己的数分学习经历和心得,以供大家参考.首先声明:世上没有万能的方法,任何一种方法都有其局限性和适用范围,所以对SCIbird说的话要辩证的看,取其精华.类似的,如果你在某本书里看到类似"放之四海皆真理的话"那么你基本可以考虑把这本书扔到垃圾桶里了.正如题目所写的,本文讲述的是"如何提高自身数学分析水平"也就是说,本文是针对已经学过数分,但苦于数分水平提高缓慢的朋友们的.一点个人心得,希望能给需要帮助的人指引下方向.说是对数分的,但其实对其它数学科目也有参考意义.只是我对分析比较熟悉,故举的例子多是分析方面的.首
2、先,我们要端正一个态度,即对于一个定理或一个问题,我们不应该用做考试题的态度来对待,而应该用研究数学问题的态度来对待.尽量挖掘出新的东西,而不局限于问题中的结论本身.具体说来,如下:研究问题,笼统说多是关于存在性,唯一性,条件充不充分,必不必要,有无充要条件等等.这些泛泛的说法大家也许都知道,也有道理,不过就是不知道具体该怎样做.下面我就详细说下这些年自己的心得体会,以供参考.1.以几何直观做启发,大胆想象,严密论证.分析界目前有这种不好的倾向,认为几何直观不严密,于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证,有的书上甚至一张图都没有.诚然,大学数学的一个特点是高度抽象性,而且
3、几何直观确实不能代替严密的证明.但一味的强调抽象性,容易迷失方向,尤其是初学者,往往一头雾水,不知所云.其实,几何直观对许多分析定理有启发作用.很多定理可以从几何直观中观察出来,加以提炼,最后严格证明而上升为定理.举个例子:考虑费马引理,即可导函数的极值点处导数值为0.几何直观上,一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的,而且似乎不一定要求导函数连续,然后通过分析严格证明我们的猜想.但是,问题就结束了吗?我们能不能走的远点,上面说可导函数极值点导数为0,那么我们可以问导数为0是否就是极值点?什么时候有极值点?标准文档实用文案前一个问题是否定的,导数为0点未必就是极值点.至
4、于后一个问题,条件可能不止一个.其中有一个比较特殊,我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.而对于非常数函数,如果最值在区间内部取得,它也是极值,如果f可导,则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值).一个条件是非常数可导函数的两端点相等,则区间内部必有最值点,因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理.我们又问了,这个条件必要吗?可以举出反例,这说明罗尔定理的条件只是充分条件.类似的几何直观还很多,比如把图象旋转一下,罗尔定理就变成了拉格朗日定理,如果用参数形式表示拉格朗日定理,则就变成了柯西定理.当然,以上只是从几何直观做出的
5、猜想,接下来必须严格的给予证明.2.可以从多角度思考问题.我们解决了一个好的问题后,不必立刻走开.可以再挖掘一下,看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下,结论还成立吗?原题条件是P1,我换个条件P2,结论还成立吗?或者说,若不满足条件P1,结论还成立吗?原问题条件太苛刻了,我削弱一下条件,结论成立否.原问题是3维的,换成n维情况还成立吗?原问题要求函数f连续,我换成Riemann可积后,结论如何?或者说原问题是与三角函数(涉及周期性)有关,我换成一般的周期函数后,结论如何?或者说原命题是否有推广的可能.举两个例子,比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换),
6、通常要求是一致收敛.但一致收敛这个条件太强了,能否换成更一般的条件.于是阿尔泽拉定理就出现了,其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or谢惠民的书or微积分学教程)所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann积分理论中的控制收敛定理)是如下形式:所谓一致有界,即存在正数M>0,使得任取n,x∈[a,b]有
7、fn(x)
8、<=M.阿尔泽拉定理断言只需要可积函数列fn(x)点点收敛,即fn(x)→f(x),和一致有界,及f(x)Riemann可积,便能推出lim∫[a,b]fn(x)dx=∫[a,b]f(x)dx(极限运算与积分运算交顺序)标准文档实用文案熟悉
9、Lebesgue积分的朋友们会发现,此定理就是实变中Lebesgue控制收敛定理的特例.相比之下多出的条件是要求"f(x)Riemann可积",这是因为极限函数未必是Riemann可积的.这一要求在Lebesgue积分理论中可以去掉,因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L积分相对于R积分的优越性).其实从实变角度考察数分会有新的收获的,比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理.另一个例子,我想举下傅立叶级数理论中的Riemann引理,即傅立叶系数趋于0的推广形式,为∫f(x)sin(λx)dx=0,当
