数值计算9new

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1、电力教研室数值计算方法梁海峰第六章常微分方程的数值解法内容：欧拉法改进欧拉法龙格—库塔法第六章常微分方程的数值解法要求：掌握欧拉法掌握改进欧拉法掌握龙格—库塔法第六章常微分方程的数值解法在科学技术中，常常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题中的最基本形式，就是本章讨论的一阶常微分方程的初值问题。⎧y′=f(x,y)⎨(a

2、来求解。数值方法求解，不是寻求初值问题的解的解析表达式，而是求出在一系列离散节点a=x

3、分方程。问题变为：⎧dy⎪=f(x,y)⎨dx⎪⎩y(x)=y00第六章常微分方程的数值解法数值解法就是寻求上式的解y=y(x)在一系列离散结点上的近似值：x

4、方法一、欧拉方法微分方程在任意结点x上的准确解为y(x),数ii值近似解用y表示i若已知结点x上解为y(x)ii在一个步长间隔内：y(xi++11)xi∫∫dy=f(x,(y(x))dxy(xi)xixi+1⇒y(x)=y(x)+f(x,(y(x))dxi+1i∫xi第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法由于x>x处y(x)是未知的，故只能求近似积分，i简单方法认为[x，x]中f(x,y)不变，即f(x,y)的值ii+1等于步长初始点的值。xi+1y(x)≅y(x)+f(x,y(x))dxi+

5、1iii∫xi≅y(x)+hf(x,y(x))iii实际上，步长初始点x上的解也不是精确解。i第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法所以：y=y+hf(x,y)i+1iii在计算时，从初始条件：x=x，y=y开始到x=x，00n利用yi+1=yi+hf(xi,yi)完成全部计算。第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法yy43yy21y0几何意义：x0x1x2x3x4欧拉法是通过点(xi,yi)按斜率f(xi,yi)作切线，切线与x=xi+1的交点为(xi+1,yi+1).每一计算步骤均存在截

6、断误差。第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法yy43yy21y0x0x1x2x3x4第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法二、改进的欧拉方法由前面介绍的方法可以看出，计算结果的xi+1精确度和积分∫f(x,(y(x))dx有很大关系。xi选用不同的近似方法，可以得到不同的计算公式。第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法采用矩形公式计算：xi+1f(x,(y(x))dx≅hf(x,y(x))∫xiiiy(x)≅y(x)+hf(x,y(x))i+1iiiy=y+hf(x,y)i+1iii——

7、欧拉公式第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法采用梯形公式计算积分项：xi+1hf(x,(y(x))dx≅[f(x,y(x))+f(x,y(x))]∫xiii+1i+1i2所以hy(x)≅y(x)+[f(x,y(x))+f(x,y(x))]i+1iiii+1i+12第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法hy=y+[f(x,y)+f(x,y)]i+1iiii+1i+12由于上式两边同含y且是利用梯形法i+1计算积分项，故该方法称为隐式梯形法。隐式梯形法实际上是关于y的函数方i+1程式，可用迭代

8、法求解，但计算量大，不实用。第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法~若用欧拉格式求解近似值yi+1把它作为预报值，~然后用yi+1替代梯形法中右端项的yi+1，计算得到校正值y，i+1这样就建立了一种：预报—校正格式，称为改进欧拉法。第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法~预报：yi+1=yi+hf(xi,yi)h~校正：yi+1=yi+[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)]2精度比欧拉格式提高一阶。第六章常微分方程的数值解法6.1欧拉方法计算格式：⎧⎪yp=yi+hf(xi,yi)