ch7、空间解析几何与向量代数

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1、Ch8、多元函数微分法及其应用§1、多元函数的基本概念1、多元函数的定义（以二元函数为例）定义1：设为面上的点集，若对中任一点，变量总有唯一确定的值与之对应，则称是的二元函数，记为。①二元函数的定义域为面上的二维区域，二元函数的几何图形为曲面。例如，对二元函数，其定义域为面上的圆域，其图形为上半球面。②特别地，自变量与无关。2、多元函数的极限定义2：称为二重极限。定理1：二重极限以任何方式趋于时，均趋于。推论：若当沿不同路径趋于时，趋于不同值，则不存在。例1、，证明不存在。证：当沿趋于时，，当沿趋于时，，故不存在。或证：当沿趋于时，，与有关，故不存在。例2、求22解：当沿趋

2、于时，原式，与无关，故。（错误）应解：当沿趋于时，原式=0，而当沿趋于时，原式，故原极限不存在。3、多元函数的连续性定义3：若，则称在处连续。定理2：多元初等函数在其定义区域内连续。例如上间断，而在其它点处均连续。定理3：闭区域上的多元连续函数①在上有最大、最小值，从而有界；②在上可取得介于最大、最小值之间的任何值。例3、讨论在处的连续性。解：故在处连续。§2、偏导数一、偏导数的定义与计算1、定义当固定在处有增量时，函数有偏增量-，若极限存在，则称之为在处对的偏导数，记为或。若在区域内每一点处对的偏导数均存在，则此偏导数为22的函数，称为对的偏导(函)数，记为或。类似地可定

3、义对的偏导数以及二元以上函数的偏导数。2、计算方法在计算对(或)的偏导数时，只须将另一变量(或)看成常量即可。例1、求偏导数①②解：①②，同理例2、已知(为常量)，证明：证：故3、偏导数的几何意义——曲面——曲面被平面所截得的曲线——该曲线在点处的切线对轴的斜率4、偏导数存在与连续的关系[注意]与一元函数中导数存在与连续的关系不同，在某点的偏导数都存在未必能保证函数在该点连续。例3、证明在处的偏导数均存在，但在处不连续。22证：，同理但由于极限不存在（§1例1），故在处不连续。二、高阶偏导数设有偏导数，若的偏导数也存在，则称它们为的二阶偏导数。显然，有如下四个二阶偏导数：其

4、中称为混合偏导数。定理：若连续，则。例4、求的二阶偏导数。解：22例5、验证满足证：，，同理，故§3、全微分1、定义若全增量可表示为，其中不依赖于而仅与有关，，则称处可微分，称为处的全微分，记为，即。若内各点均可微，则称内可微。2、可微与连续的关系定理1：若处可微分，则处连续。证：由可微，即=，得故处连续。3、可微与偏导存在的关系定理2：若可微，则偏导存在，且，即习惯上记为。证：可微，即=，令，得=，故22，即存在，且，同理可证。4、可微的充分条件定理3：若的偏导数连续，则可微。5、几个概念的相互关系例1、①求的全微分；②求时全增量与全微分。解：①，故②，，例2、证明在处偏

5、导存在，但不可微。证：，同理但不存在（§1例1），从而不连续，当然也不可微。§4、多元复合函数的求导法则1、简单情况定理1：设复合而成，其中偏导连续，22，可导，则。证：由偏导连续，得可微，且，又，可导，故。①为二元函数，而为一元函数，即。②这种由多个中间变量复合而成的一元函数的导数称为全导数。③推广：，。例1、，求解：或解：，例2、，求解：对，为表达简便，引入记号,故例3、，求解：2、一般情况定理2：设复合而成，即则，。22例4、，求解：，例5、，求偏导数。解：，，例6、，求偏导数。解：，，例7、，求解：，3、特殊情况即（中间变量只有一个），注意：为二元函数，而为一元函数

6、，千万不要出现符号。例8、，求偏导数。解：，，例9、，求偏导数。解：，例10、，证明：22证：，4、复合函数的高阶导数例11、有二阶连续偏导数①，求；②，求。解：①，一阶偏导是与结构相同的复合函数，即，故②，22例12、，求解：，§5、隐函数求导法一、一个方程的情形1、一元隐函数求导法定理1：设确定，且，则。证：因为确定，所以两边对求全导数，，又，故。例1、设，求。解：令则故。或解：两边关于求导（此时为的函数），，2、二元隐函数求导法22定理2：设确定，且，则。证：在两边分别对、求偏导，，故。例2、设，求。解：令，则故。或解：两边关于求偏导（此时为、的函数），，得两边再关于

7、求偏导同理可得。例3、设，求。解：取对数，令，则故例4、设确定了隐函数，求。解：故。22例5、设确定了隐函数，求。解：故。例6、设确定了隐函数，验证。证：，，故例7、设，求。解：令，则，例8、设由确定，二阶可导，求。解：令，则，22二、方程组的情形设方程组确定了两个函数，求解：在方程组两边关于求导，有，解之即可得，同理可得。例9、，求。解：两边关于求导，有，即，得，。例10、，求。解：两边关于求导，有，即，解得，，同理可得，§6、微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面如图，直线与平面分别称为曲线在点处的切线