欧拉图与哈密顿图

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3、2)+1时，G不一定是哈密顿图。证明：用反证法。假设G不是哈密顿图，则存在两个不相邻的顶点u，v，且d(u)+d(v)n-1。令v1={u,v}，G1=G-v1，则G1是具有n-2个顶点的简单图，它的边数m11/2(n-1)(n-2)+2-(n-1)，可得到m11/2(n-2)(n-3)+1，这与G1为n-2个顶点的简单图矛盾，因为n-2阶完全图的边数也才1/2(n-2)(n-3)。由此可得出假设不成立，必有d(u)+d(v)n，这样就证明了G是哈密顿图。下图满足m=1/2(n-1)(n-2)+1，可它不是哈密顿图。

4、2．今有n个人，已知他们中的任何二人合起来认识其余的n-2个人，证明：当n3时，这n个人能排成一列，使得中间的任何人都认识两旁的人，而两旁的人认识左边（或右边）的人。而当n4时，这n个人能排成一个圆圈，使得每个人都认识两旁的人。证明：设n个人分别为v1,v2,…vn，以V={v1,v2,…vn}为顶点集，若vi与vj认识，就在代表他们的顶点之间连一条无向边，得边集E，于是得无向简单图G=。对任意的vi,vjV，假设vi与vj不相邻，则对任意的vk(kikj)必与vi或vj相邻，否则与已知条件矛盾。假设vk与vi相邻，

5、而与vj不相邻，那么vi与vk代表的人都不认识vj代表的人，这与已知矛盾。所以vk既与vi相邻，也与vj相邻，因此vi与vj都与其他的n-2个顶点相邻，从而d(vi)+d(vj)=n-2+n-2=2n-4由于n3，所以2n-4n-1，所以G中存在哈密顿通路。当n4时，2n-4n，此时G是哈密顿图。因此结论成立。3.设G是无向连通图，证明：若G中有桥或割点，则G不是哈密顿图。证明：有桥和割点的定义可知P(G-V)>P(G)，由题意知G是连通图，则P(G)=1。当G中有割点时，P(G-V)>1。由定理15.6可知如果G是

6、哈密顿图则P(G-V)=1,这与P(G-V)>1矛盾，所以G不是哈密顿图。当G中有桥时，可以把桥的两个端点合成一个顶点，此时这个顶点就是割点，同样可证G不是哈密顿图。4．5阶完全带权图如图所示，求图中的最短哈密顿回路。答：图中的哈密顿回路有：c1=abcdea.c2=abceda.c3=abecda.c4=abedca.c5=abdeca.c6=abdcea.c7=aebcda.c8=aebdca.c9=aedbca.c10=aedcba.c11=aecbda.c12=aecdba.由图可知W(c1)=W(c10)=

7、32.W(c2)=W(c3)=37.W(c4)=W(c11)=34.W(c5)==35.W(c6)=W(c7)=W(c12)=33.W(c8)=29.W(c9)=31.故最短的哈密顿回路为aebdca，长度为295．n为何值时，无向完全图是欧拉图？n为何值时，无向完全图仅存在欧拉通路而不存在欧拉回路？（选自离散数学及其应用习题解析）答：由于的所以结点的度数均为n-1，要使n-1为偶数，n必须为奇数，故当n1且为奇数时，无向完全图是欧拉图。图中仅存在欧拉通路而不存在欧拉回路就必须使图中有且仅有两个奇度结点，其他均为偶数

8、结点，由于的所有结点的度数均为n-1，因此中只能有两个奇度结点，当n=2时，中只有两个奇度结点，故中仅有欧拉通路而无欧拉回路。6．设G是具有k个奇度结点的无向连通图，那么，最少要在G中添加多少条边才能使G具有欧拉回路？（选自离散数学及其应用习题解析）答：由握手定理可知k为偶数。要使G中具有欧拉回路，必须使G中每个结点的度数为偶数，也就是说每个奇