2015届高考理科数学第一轮总复习教案30

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1、§3.1　导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3、3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝　　5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g

4、(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．6．(理)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　×　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×

5、　)(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(　×　)(6)(理)函数y＝的导数是y′＝.(　×　)2．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.答案　2解析　设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，∴f(t)＝lnt＋t∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.3．(2013·广元模拟)已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是(　　)A．－1B．±1C．1D．±3答案　B解析　由y＝x3知y′＝3x2，∴切线斜率k＝y′

6、x＝

7、a＝3a2.又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，∴3a2·(－)＝－1，∴即a2＝1，a＝±1，故选B.4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)答案　D解析　由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．(理)曲线y＝e－2x＋1在点(0

8、,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．答案　解析　y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A(，)，所以三角形的面积S＝×1×＝.题型一　利用定义求函数的导数例1　利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪　掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．解　f′(x0)＝＝＝(x2＋xx0＋

9、x)＝3x.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x·(x－x0)，即y＝3xx－2x，由得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x)，(－2x0，－8x)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华　求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率＝；(3)计算导数f′(x)＝.　(1)函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是________．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b

10、)内可导，且x0∈(a，b)，则的值为(　　)A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0答案　(1)1－