太原理工大学2007年《高等代数》攻读硕士学位研究生入学试题

《太原理工大学2007年《高等代数》攻读硕士学位研究生入学试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、太原理工大学2007年攻读硕士学位研究生入学试题（180分钟，总分150分）高等代数一、选择题（每题4分，共24分）1.设为级矩阵，已知命题：①只有零解；②有唯一解；③的行向量组线性无关；④的列向量组线性无关.则有[](A)①②④.（B）②①④.(C)④①③.(D)③②①.2.设矩阵，，，其中可逆，则等于[]（A）（B）（C）（D）3.设三级矩阵，若的伴随矩阵的秩为1，则有[]（A）或（B）或（C）且（D）且4.设A,B是线性空间的线性变换，且AB-BA=E，则[](A)A2B-BA2=2A;(B)A3B-BA3=3A

2、3;(C)A2B-BA2=0;(D)A4B-BA4=2AB.5.和矩阵正交相似的矩阵为[](A)(B)(C)(D)6.若矩阵有一个不变因子为，则下列结论正确的是[](A)相似于对角矩阵;(B)是非奇异矩阵;(C)的初等因子都是的幂或的幂;(D)是奇异矩阵.二、填空题（每题6分，共36分）1.设为级矩阵，考虑四个命题：1）与有相同的特征值与特征向量；2）若与等价,则与有相同的特征值与特征向量；3）若与有相同的特征值，则与一定相似于同一个对角矩阵；4）若与有相同的特征值，则秩.在这四个命题中成立的个数有个.2.已知-2是矩

3、阵的特征值，其中为不等于零的任意常数，则=.3.已知实二次型的正负惯性指数都是1，则=.4.设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为。5.若是级非零矩阵，且，则的Jordan标准形中Jordan块的最大级数是.6.已知3维欧氏空间中有一组基，其度量矩阵为，向量，则.三、计算与证明题（前五题每题12分，后三题每题10分，共90分）1.设为四维列向量组，且线性无关，.已知方程组有无穷多解，(1)求的值；(2)用基础解系表示该方程组的全部解.2.设，为四维列向量组，求(1)为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出

4、；(2)为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.3.已知、为3级矩阵，且满足，其中是3级单位矩阵。(1)证明：矩阵可逆；(2)若，求矩阵.4.设是三级矩阵的三个特征值，其对应的特征向量依次为证明：(1),(2)把用线性表出，并求.5.已知三维向量组（I）线性无关，（Ⅱ）线性无关。(1)证明：存在向量，即可由线性表示，也可由线性表示。(2)当时，求（1）中的。6.设是级实对称矩阵，是正定矩阵，证明是可逆矩阵。7.设是复数域上的维线性空间，而线性变换在基下的矩阵是一若当块。证明中任一非零子空间都

5、包含。8.设是实数域上所有次数小于4的一元多项式全体组成的集合，在其上定义内积则是一个欧几里得空间，设是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求在上的的正交补以及它的一个基。